Atrisinājums

Pamatosim, ka trijstūra ar virsotnēm \(A\left(x_{A}, y_{A}\right), B\left(x_{B}, y_{B}\right)\) un \(C\left(x_{C}, y_{C}\right)\) mediānu krustpunkta \(M\) koordinātas ir \(\left(\frac{x_{A}+x_{B}+x_{C}}{3}; \frac{y_{A}+y_{B}+y_{C}}{3}\right)\).

Izmantojot punkta \(B\) un \(C\) koordinātas, aprēķinām malas \(BC\) viduspunkta \(D\) (skat. 10.att.) koordinātas, iegūstam \(D\left(\frac{x_{B}+x_{C}}{2}; \frac{y_{B}+y_{C}}{2}\right)\). Tad \(\overrightarrow{AD}=\left(\frac{x_{B}+x_{C}}{2}-x_{A}; \frac{y_{B}+y_{C}}{2}-y_{A}\right)\). Tā kā \(\frac{AM}{MD}=\frac{2}{1}\), tad

\[\overrightarrow{AM}=\frac{2}{3} \overrightarrow{AD}=\left(\frac{x_{B}+x_{C}-2 x_{A}}{3}; \frac{y_{B}+y_{C}-2 y_{A}}{3}\right)\]

Izmantojot vektora \(\overrightarrow{AM}\) koordinātas un punkta \(A\) koordinātas, nosakām punkta \(M\) koordinātas: \(M\left(\frac{x_{B}+x_{C}-2x_{A}}{3}+x_{A}; \frac{y_{B}+y_{C}-2y_{A}}{3}+y_{A}\right)\) jeb \(M\left(\frac{x_{A}+x_{B}+x_{C}}{3}, \frac{y_{A}+y_{B}+y_{C}}{3}\right)\). Tātad trijstūrim, kura koordinātas ir veseli skaitļi \(\left(x_{A}; y_{A}\right),\left(x_{B}; y_{B}\right)\) un \(\left(x_{C}; y_{C}\right)\) mediānu krustpunkta koordinātas ir veseli skaitļi tad un tikai tad, ja \(\left(x_{A}+x_{B}+x_{C}\right)\) un \(\left(y_{A}+y_{B}+y_{C}\right)\) dalās ar \(3\).  a) Nē, ne noteikti. Piemēram nekādiem trīs no šiem astoņiem punktiem \((3; 0), (0; 3), (6; 1), (0; 4), (1; 0), (4; 3), (4; 1)\) un \((1; 7)\) nav spēkā, ka \(\left(x_{A}+x_{B}+x_{C}\right)\) un \(\left(y_{A}+y_{B}+y_{C}\right)\) dalās ar \(3\), jo šo punktu koordinātas pēc moduļa \(3\) ir \((0; 0), (0; 1), (1; 0)\) un \((1; 1)\) (katra vērtība divas reizes), redzams, ka, summējot \(3\) no šiem, nevar iegūt ne summu \((0; 0)\), ne \((0; 3)\), ne \((3; 0)\), ne \((3; 3)\). b) Jā, noteikti. Apskatot patvaļīga punkta koordinātas pēc moduļa \(3\), var iegūt \(9\) dažādus gadījumus (skat. 11.att.).  Katru no dotajiem \(9\) punktiem "ievietosim" atbilstošajā rūtiņā. Ja kādā rūtiņā ir ievietoti trīs punkti, tad tos varam ņemt par trijstūra virsotnēm. Ja nav tādas rūtiņas, kurā ir ievietoti vismaz \(3\) punkti, tad katrā rūtiņā ir ievietoti ne vairāk kā \(2\) punkti. Tā kā kopā ir \(9\) punkti, tad ir aizpildītas vismaz \(5\) rūtiņas. Pietiek apskatīt situāciju, kad ir aizpildītas \(5\) rūtiņas. Apskatīsim iespējamos gadījumus: - ja ir tāda rinda, kolonna vai diagonāle, kurā visas rūtiņas ir aizpildītas, tad izvēlamies pa vienam punktam no katras šīs rindas (kolonnas vai diagonāles) rūtiņas - tie ir meklētā trijstūra virsotnes; - ja nav ne tāda rinda, ne kolonna, kurā visas rūtiņas ir aizpildītas, tad ir tieši divas tādas rindas, kurās ir pa divām aizpildītām rūtiņām un tieši viena rinda, kurā ir aizpildīta viena rūtiņa, tas pats attiecas arī uz kolonnām. * Apskatām gadījumu, kad ir tāda aizpildīta rūtiņa, kas ir vienīgā aizpildītā rūtiņa gan rindā, gan kolonnā. Apzīmējam tajā ievietotā punkta koordinātas pēc moduļa \(3\) ar \(\left(a_{1}; b_{1}\right)\). Pārējo četru punktu koordinātas ir \(\left(a_{2}; b_{2}\right),\left(a_{2}; b_{3}\right),\left(a_{3}; b_{2}\right),\left(a_{3}; b_{3}\right)\), kur \(a_{i}, b_{i} \in{0, 1, 2}\), turklāt visi \(a_{i}\) ir atšķirīgi un visi \(b_{i}\) ir atšķirīgi. Tad par trijstūra virsotnēm izvēlamies tādus trīs punktus, lai \(a_{1}+a_{2}+a_{3} \equiv 0+1+2 \equiv 0(\bmod 3)\) un arī \(b_{1}+b_{2}+b_{3} \equiv 0+1+2 \equiv 0(\bmod 3)\). Piemēram, var izvēlēties punktus, kuru koordinātas pēc moduļa \(3\) ir \(\left(a_{1}; b_{1}\right),\left(a_{2}; b_{2}\right),\left(a_{3}; b_{3}\right)\). * Apskatām gadījumu, kad ir tāda rūtiņa, kas ir vienīgā aizpildītā rūtiņa rindā, bet ne kolonnā. Šajā rūtiņā ievietotā punkta koordinātas pēc moduļa \(3\) apzīmējam ar \(\left(a_{1}; b_{1}\right)\). Tātad noteikti ir cita tāda rūtiņa, kas ir vienīgā aizpildītā rūtiņa kolonnā. Šajā rūtiņā ievietotā punkta koordinātas pēc moduļa \(3\) apzīmējam ar \(\left(a_{2}; b_{2}\right)\). Tā kā abās pārējās kolonnās ir pa divām aizpildītām rūtiņām un nevar būt aizpildīta rūtiņa, kurā ievietotā punkta koordinātas pēc moduļa \(3\) ir \(\left(a_{1}; b_{3}\right)\), tad noteikti ir aizpildītas rūtiņas, kurās ievietoto punktu koordinātas pēc moduļa \(3\) ir \(\left(a_{2}; b_{3}\right)\) un \(\left(a_{3}; b_{3}\right)\). Tad par trijstūra virsotnēm izvēlamies tādus trīs punktus, lai \(a_{1}+a_{2}+a_{3} \equiv 0+1+2 \equiv 0(\bmod 3)\) un arī \(b_{1}+b_{2}+b_{3} \equiv 0+1+2 \equiv 0(\bmod 3)\). Piemēram, var izvēlēties punktus, kuru koordinātas pēc moduļa \(3\) ir \(\left(a_{1}; b_{1}\right),\left(a_{2}; b_{2}\right),\left(a_{3}; b_{3}\right)\).