Atrisinājums

Ievērojam, ka naturālu skaitli \(n\), dalot ar \(4\), var iegūt atlikumu \(0, 1, 2\) vai \(3\), un atrodam, kādu atlikumu var iegūt, ja \(n^{2}\) dala ar \(4\):

• ja \(n \equiv 0(\bmod 4)\), tad \(n^{2} \equiv 0^{2} \equiv 0(\bmod 4)\);
• ja \(n \equiv 1(\bmod 4)\), tad \(n^{2} \equiv 1^{2} \equiv 1(\bmod 4)\);
• ja \(n \equiv 2(\bmod 4)\), tad \(n^{2} \equiv 2^{2} \equiv 4 \equiv 0(\bmod 4)\);
• ja \(n \equiv 3(\bmod 4)\), tad \(n^{2} \equiv 3^{2} \equiv 9 \equiv 1(\bmod 4)\).

Tātad naturāla skaitļa kvadrātu, dalot ar \(4\), var iegūt atlikumu \(0\) vai \(1\).

Apskatot doto izteiksmi pēc moduļa \(4\), iegūstam \(13^{n}+10^{n}+7^{n}+3^{n} \equiv 1^{n}+2^{n}+(-1)^{n}+(-1)^{n}(\bmod 4)\). Ja \(n=1\), tad \(13+10+7+3=33\), kas nav naturāla skaitļa kvadrāts. Ja \(n\) ir lielāks nekā \(1\), tad \(2^{n} \equiv 0(\bmod 4)\), un šķirojam divus gadījumus:

• ja ir pāra skaitlis, tad \(1^{n}+2^{n}+(-1)^{n}+(-1)^{n} \equiv 1+0+1+1=3(\bmod 4)\);
• ja \(n\) ir nepāra skaitlis, tad \(1^{n}+2^{n}+(-1)^{n}+(-1)^{n} \equiv 1+0-1-1=-1 \equiv 3(\bmod 4)\).

Tātad dotā izteiksme, dalot ar \(4\), dod atlikumu \(3\), tātad tā nevar būt naturāla skaitļa kvadrāts.

Piezīme. Iegūt pretrunu var arī apskatot doto izteiksmi pēc moduļa \(9\). Ja \(n=1\), tad atlikums, dalot ar \(9\), ir \(6\), ja \(n\) ir lielāks nekā \(1\), tad atlikums, dalot ar \(9\), ir \(3\), bet naturālu skaitļu kvadrātu vērtības pēc moduļa \(9\) var būt tikai \(0, 1, 4\) vai \(7\).