Dots, ka \(0 \leq a_{1} \leq a_{2} \leq \cdots \leq a_{1000}\) un \(a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{1000}=1\). Pierādīt, ja \(n\) ir naturāls skaitlis un \(1 \leq n \leq 1000\), tad \(\frac{a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}}{n} \leq \frac{1}{1000}\)
Pierādīsim, ka pie \(n=1; 2; \ldots ; 999\) ir spēkā nevienādība
\[\frac{a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}}{n} \leq \frac{a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}+a_{n+1}}{n+1}\]
Reizinot abas nevienādības puses ar \(n(n+1)>0\) un veicot ekvivalentus pārveidojumus, iegūstam\[\begin{gathered} (n+1)\left(a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}\right) \leq n\left(\left(a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}\right)+a_{n+1}\right) \\ n\left(a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}\right)+\left(a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}\right) \leq n\left(a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}\right)+n \cdot a_{n+1} \\ a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n} \leq n \cdot a_{n+1} \end{gathered}\]
Pēdējā nevienādība ir patiesa, jo \(0 \leq a_{1} \leq a_{2} \leq \cdots \leq a_{1000}\). Tā kā \(\frac{a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{1000}}{1000}=\frac{1}{1000}\), tad iegūstam, ka\[\frac{a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}}{n} \leq \frac{a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}+a_{n+1}}{n+1} \leq \frac{1}{1000}\]