Atrisinājums

Mazākais iespējamais sarokošanos skaits ir \(9\), skat., piemēram, 6.att. kur komisijas locekļi ir attēloti ar punktiem, bet sarokošanās - ar līniju starp atbilstošajiem punktiem. Tiešām, no jebkuriem \(3\) punktiem divi atrodas vienā daļā, un tie ir savā starpā savienoti.

Pierādīsim, ka mazāk sarokošanos (jeb līniju) nevar būt. Pieņemsim, ka ir novilktas \(8\) līnijas. Tad ir \(16\) līniju gali. Tā kā \(7 \cdot 3=21>16\), tad ir tāds punkts \(A\), no kura iziet ne vairāk kā \(2\) līnijas. Apskatām iespējamos gadījumus.

1) No punkta \(A\) neiziet neviena līnija. Tad, lai no katriem trim punktiem vismaz divi būtu savienoti, visiem citiem punktiem jābūt pa pāriem savienotiem, bet tādā gadījumā līniju skaits ir \(6 \cdot 5:2=15\) (pretruna). 2) Punkts \(A\) ir savienots ar tieši vienu citu punktu \(B\). Tad, lai no katriem trim punktiem vismaz divi būtu savienoti, pārējiem pieciem punktiem jābūt pa pāriem savienotiem - citādi, izvēloties, piemēram, punktu \(A\) un divus citus nesavienotos punktus, iegūsim trīs punktus, no kuriem nekādi divi nav savienoti. Taču tādā gadījumā līniju skaits ir \(1+5 \cdot 4:2=11\) (pretruna). 3) Punkts \(A\) ir savienots ar tieši diviem citiem punktiem \(B\) un \(C\), tas, ir no \(A\) iziet divas līnijas (skat. 7.att.). Bet tad \(A\) nav savienots ar \(4\) atlikušajiem punktiem. Visiem šiem punktiem jābūt pa pāriem savienotiem - citādi, izvēloties punktu \(A\) un divus citus nesavienotos punktus, iegūsim trīs punktus, no kuriem nekādi divi nav savienoti. Taču tad jau kopā ir novilktas \(2+4 \cdot 3:2=8\) līnijas, tātad citu līniju vairs nav. Šajā gadījumā var atrast trīs tādus punktus, ka nekādi divi no tiem nav savienoti, piemēram, izvēloties punktus \(B, C\) un vēl kādu citu punktu (ne \(A\)).