Atrisinājums

Taisnes \(BH\) krustpunktu ar \(CD\) apzīmējam ar \(P\) (skat. 5.att.). Tātad jāpierāda, ka \(CP=PD\). Apzīmējam \(\sphericalangle BAC=\sphericalangle CAD=2 \alpha\) (jo \(A C\) ir leṇka \(A\) bisektrise). Tā kā trijstūris \(AHD\) ir taisnleṇka, tad

\[\sphericalangle ADH=90^{\circ}-2 \alpha\]

Tā kā pēc dotā \(AC=AD\), tad trijstūris \(CAD\) ir vienādsānu un

\[\sphericalangle ACD=\sphericalangle ADC=\frac{180^{\circ}-2 \alpha}{2}=90^{\circ}-\alpha\]

Aprēķinām

\[ \sphericalangle HDP=\sphericalangle ADC-\sphericalangle ADH=90^{\circ}-\alpha-\left(90^{\circ}-2 \alpha\right)=\alpha \]

Taisnleņķa trijstūri \(ABC\) un \(AHD\) ir vienādi pēc pazīmes \(h \ell\), jo \(AC=AD\) un \(\sphericalangle BAC=\sphericalangle HAD\). Tātad \(AB=AH\) kā atbilstošās malas vienādos trijstūros. Līdz ar to trijstūris \(BAH\) ir vienādsānu un

\[\sphericalangle ABH=\sphericalangle BHA=\frac{180^{\circ}-2 \alpha}{2}=90^{\circ}-\alpha\]

Ievērojam, ka \(\sphericalangle CHP=\sphericalangle BHA=90^{\circ}-\alpha\) (krustleņķi) un \(\sphericalangle PHD=90^{\circ}-\sphericalangle CHP=90^{\circ}-\left(90^{\circ}-\alpha\right)=\alpha\). Tā kā \(\sphericalangle HDP=\sphericalangle PHD=\alpha\), tad trijstūris \(HPD\) ir vienādsānu un \(HP=PD\). Tā kā \(\sphericalangle ACD=\sphericalangle BHA=90^{\circ}-\alpha\), tad trijstūris \(HPC\) ir vienādsānu un \(HP=CP\). Līdz ar to \(CP=PD\).