Atrisinājums

Katru naturālu skaitli \(n\) var izteikt formā \(n=4b+a\), kur \(b \in \mathbb{Z}\) un \(a\) ir skaitļa \(n\) atlikums, dalot ar \(4\). Iespējamās atlikuma \(a\) vērtības ir \(0,\ 1,\ 2\) vai \(3\). Apskatām visus iespējamos gadījumus, kādus atlikumus var dot trīs izvēlētie skaitļi.

1) Ja kāds no skaitļiem dalās ar \(4\) (jeb dod atlikumu \(0\)), tad šī skaitļa reizinājums ar pārējiem diviem skaitļiem arī dalās ar \(4\) jeb šie divi reizinājumi dod atlikumu \(0\).
2) Ja neviens no skaitļiem nedalās ar \(4\), tad iespējami divi gadījumi.

a. Ja vismaz diviem skaitļiem atlikums, dalot ar \(4\), ir vienāds, tas ir, skaitļus varam izteikt formā \(4k+q;\ 4m+q\) un \(4n+p\), tad reizinājumiem \((4k+q)(4n+p)=4(4kn+kp+nq)+qp\) un \((4m+q)(4n+p)=4(4mn+mp+nq)+qp\) atlikums ir vienāds ar \(qp\) atlikumu, dalot ar \(4\).

b. Ja visi atlikumi ir dažādi, tad viena skaitļa atlikums, dalot ar \(4\), ir \(1\), otra - \(2\), trešā - \(3\), tas ir, skaitļus varam izteikt formā \(4k+1;\ 4m+2\) un \(4n+3\). Tad reizinājuma \((4k+1)(4m+2)=4(4km+2k+m)+2\) atlikums ir vienāds ar reizinājuma \((4m+2)(4n+3)=4(4mn+3m+2n+4)+2\) atlikumu, tas ir, ir vienāds ar \(2\).

Esam aplūkojuši visus gadījumus un prasītais pierādīts.