Atrisinājums

Apskatām mucu, kurā ir vismazāk ūdens. Parādīsim, kā kādā no pārējām mucām iegūt mazāk ūdens nekā šajā mucā. Tad skaidrs, ka, atkārtojot šo procesu, agrāk vai vēlāk kāda no mucām būs tukša.

Apzīmējam mucas ar \(A\) (sākumā tajā ir \(a\) litri), \(B\) (\(b\) litri) un \(C\) (\(c\) litri) un, nezaudējot vispārīgumu, pieņemam, ka \(0 < a \leq b \leq c\). Aplūkojam mucas \(A\) un \(B\).

Izsakām \(b=a \cdot x+y\), kur \(0 \leq y < a\), bet \(x\) izsakām binārā formā:

\[x=x_{0}+2 x_{1}+2^{2}x_{2}+2^{3}x_{3}+\cdots+2^{k}x_{k}\]

kur \(x_{i}\) ir vai nu \(0\), vai \(1\) visiem \(i=0,1, \ldots, k\). Veiksim pārliešanas uz mucu \(A\), izdarot \(k+1\) gājienu (gājienus numurēsim no \(0\) līdz \(k\)): - ja \(x_{i}=1\), tad \(i\)-tajā gājienā pārlejam ūdeni no mucas \(B\) mucā \(A\); - ja \(x_{i}=0\), tad \(i\)-tajā gājienā pārlejam ūdeni no mucas \(C\) mucā \(A\). Katrā gājienā ūdens daudzums mucā \(A\) dubultojas un \(i\)-tajā gājienā mucā tiek ielieti \(2^{i}a\) litri ūdens. Tā kā katram naturālam \(m\) izpildās nevienādība \(1+2+2^{2}+2^{3}+\cdots+2^{m-1}=\frac{1 \cdot\left(2^{m}-1\right)}{2-1}<2^{m}\), tad mucā \(B\) pietiks ūdens, lai veiktu kārtējo gājienu neatkarīgi no tā, cik reizes veikta liešana no \(C\) uz \(A\). Pat, ja no \(B\) uz \(A\) būs jāveic tikai viena - pēdējā liešana, no \(C\) pārlietais ūdens daudzums nepārsniedz \(a\left(1+2+2^{2}+2^{3}+\cdots+2^{k-1}\right) < a2^{k} \leq b \leq c\), tātad mucā \(C\) pietiks ūdens, lai veiktu nepieciešamos gājienus. Ar aprakstītajiem gājieniem tiks panākts, ka mucā \(B\) paliek \(y\) litri ūdens, bet, tā kā \(y < a\), tad tagad mucā \(B\) ir mazāk ūdens nekā sākotnēji bija mucā \(A\) (tas ir, tagad mucā \(B\) ir vismazākais ūdens daudzums). Atkārtojot līdzīgas gājienu virknes, panāksim, ka kādā no mucām ūdens vairs nebūs.