Atrisinājums

Der skaitļu pāri \((0; 1)\) un \((0; -1)\). Pierādīsim, ka citu atrisinājumu nav.

Apzīmējam \(x^{3}=a\), tad \(y^{4}=a^{2}+3a+1\).

Ja \(a \geq 1\), tad \(a^{2}+2a+1 < a^{2}+3a+1 < a^{2}+4a+4\), tātad arī \((a+1)^{2} < y^{4} < (a+2)^{2}\), redzams, ka \(y^{4}\) (kas ir naturāla skaitļa kvadrāts) atrodas starp divu pēc kārtas esošu naturālu skaitļu kvadrātiem - pretruna. Ja \(a \leq-4\), tad \(a^{2}+4a+4 < a^{2}+3a+1 < a^{2}+2a+1\), tātad arī \((a+2)^{2} < y^{4} < (a+1)^{2}\) un, tieši tāpat kā iepriekš, iegūstam pretrunu, ka \(y^{4}\) atrodas starp diviem pēc kārtas esošu skaitļu kvadrātiem.

Tātad \(-3 \leq a \leq 0\). Tā kā \(a=x^{3}\), tad \(a=0\) vai \(a=-1\).

Ja \(a=0\), tad \(x=0\), no kā izriet, ka \(y= \pm 1\). Ja \(a=-1\), tad \(x=-1\), un iegūstam, ka \(y^{4}=-1\), kam atrisinājuma nav. Tātad dotajam vienādojumam ir tikai divi atrisinājumi \((0; 1)\) un \((0; -1)\).