Trīs \(500\) litru mucās atrodas attiecīgi \(100,\ 107\) un \(113\) litri ūdens. Vienā gājienā atļauts jebkurā mucā \(M\) pieliet klāt no jebkuras citas mucas (kurā ir vismaz tikpat daudz ūdens kā mucā \(M\)) tik daudz ūdens, cik mucā \(M\) jau atrodas. Vai, veicot šādus gājienus, iespējams iztukšot (A) vienu mucu, (B) divas mucas?
(A) Vienu mucu ir iespējams iztukšot, skat., piemēram, tālāk dotajā tabulā
| \(100\) | \(107\) | \(113\) |
|---|---|---|
| \(100\) | \(107+107=214\) | \(113-107=6\) |
| \(100+100=200\) | \(214-100=114\) | \(6\) |
| \(200\) | \(114-6=108\) | \(6+6=12\) |
| \(200\) | \(108-12=96\) | \(12+12=24\) |
| \(200-24=176\) | \(96\) | \(24+24=48\) |
| \(176-48=128\) | \(96\) | \(48+48=96\) |
| \(128\) | \(0\) | \(192\) |
(B) Pamatosim, ka divas mucas nav iespējams iztukšot. levērojam, ka kopējais ūdens daudzums ir \(320\) litru, tātad pēdējā gājiena rezultātam (ar precizitāti līdz mucu sakārtojumam), jābūt \((320; 0; 0)\), tātad beigās katrā mucā esošajam ūdens daudzums būtu jādalās ar \(5\).
Aplūkosim patvaļīgu soli, pēc kura ūdens daudzums visās mucās dalās ar \(5\), simetrijas pēc pieņemsim, ka šajā solī no pirmās mucas ūdens tika pārliets otrajā, tātad tas bija \((x; y; z) \rightarrow(x-y; 2y; z)\) un visi trīs skaitļi \(x-y,\ 2y\) un \(z\) dalās ar \(5\). No tā, ka \(2y\) dalās ar \(5\), izriet, ka \(y\) dalās ar \(5\) (jo \(2\) un \(5\) ir savstarpēji pirmskaitļi) un no tā, ka \(x-y\) dalās ar \(5\) un \(y\) dalās ar \(5\), izriet, ka \((x-y)+y=x\) dalās ar \(5\). Tātad gan \(x\), gan \(y\), gan \(z\) dalās ar \(5\), tātad, ja pēc kāda soļa visās mucās ūdens daudzums dalās ar \(5\), tad arī pirms šī soļa tas ir dalījies ar \(5\). Tā kā sākotnējais ūdens daudzums ne visās mucās dalās ar \(5\), tad skaidrs, ka no tā nav iespējams iegūt situāciju, kad visās mucās ūdens daudzums dalās ar \(5\).