Atrisinājums

Dotās sistēmas atrisinājumi ir \((0; 0; 0);\ (1; 1; 1)\) un \((-1; -1; -1)\). Pierādīsim, ka citu atrisinājumu nav. Tā kā vienādojums ir simetrisks attiecībā pret mainīgo rotāciju, tad nezaudējot vispārīgumu, varam pieņemt, ka \(x \geq y\) un \(x \geq z\). Funkcija \(f(a)=a^{3}+4a\) ir stingri augoša visā savā definīcijas apgabalā, kā divu augošu funkciju summa (\(a^{3}\) un \(4a\)), tātad, ja \(x \geq y\), tad no sistēmas pirmā un otrā vienādojuma iegūst, ka \(x^{3}+4x \geq y^{3}+4y\) jeb \(5y \geq 5z\), no kā izriet, ka \(y \geq z\). Savukārt no \(y \geq z\) tieši tādā pašā veidā, izmantojot sistēmas otro un trešo vienādojumu, iegūst, ka \(z \geq x\). Tātad \(x \geq y \geq z \geq x\), no kā seko, ka \(x=y=z\). levietojot šo sistēmas pirmajā vienādojumā, iegūst \(x^{3}+4x=5x\) jeb \(x^{3}-x=0\), tātad \(x_{1}=-1,\ x_{2}=0,\ x_{3}=1\). Pārbaude apstiprina, ka \(x=y=z=-1,\ x=y=z=0\) un \(x=y=z=1\) patiešām der kā šīs vienādojumu sistēmas atrisinājumi.