Atrisinājums

Pieņemsim pretējo, ka eksistē tāds \(12\) skaitļu komplekts, kur visas starpības starp skaitļiem atkārtojas ne vairāk kā divas reizes.

levērojam, ka \(12\) skaitļi kopā veido \(12 \cdot 11:2=66\) starpības, tām iespējamas \(34\) dažādas vērtības: no \(1\) līdz \(34\). Ja kādu no vērtībām starpības vispār nepieņem, tad katrai no pārējām starpībām jāparādās tieši divas reizes. Tāpat redzams, ja kādas divas vērtības tiek pieņemtas tikai vienu reizi, tad visas pārējās jāpieņem tieši divas reizes. Nav iespējams, ka trīs vērtības tiek pieņemtas tikai vienu reizi, tāpat nav iespējams, ka kāda vērtība netiek pieņemta un kāda cita tiek pieņemta tikai vienu reizi.

levērosim, ja mēs katru no tiem (apzīmēsim ar \(x\) ) aizstājam ar \(36-x\), tad arī šis jauniegūtais skaitļu komplekts atbilst visām prasībām: visi skaitļi ir intervālā \([1; 35]\) un to starpības ir tieši tās pašas. Šo simetrijas īpašību izmantosim, lai samazinātu aplūkojamo gadījumu skaitu.

levērojam, ka starpību

• \(34\) var iegūt tikai vienā veidā \(34=35-1\);
• \(33\) var iegūt tikai \(2\) veidos \(33=35-2=34-1\);
• \(32\) var iegūt tikai \(3\) veidos \(32=35-3=34-2=33-1\);
• \(31\) var iegūt tikai \(4\) veidos \(31=35-4=34-3=33-2=32-1\).

Pieņemsim, ka šādi \(12\) skaitļi ir atrasti.

Starpību \(34\) var iegūt tikai no skaitļiem \(1\) un \(35\), starpību \(33\) tikai no skaitļu pāriem \((2; 35)\) un \((1; 34)\). Tas nozīmē, ja nav izvēlēts \(1\) vai \(35\), tad mums nav neviena starpība \(34\) un ir lielākais viena starpība \(33\), kas nav iespējams. Tātad noteikti ir izvēlēti abi skaitļi \(1\) un \(35\). Ja nav izvēlēts ne \(2\), ne \(34\), tad mums ir viena starpība \(34\) un neviena starpība \(33\), kas nav iespējams. Tātad viens no skaitļiem \(2\) vai \(34\) noteikti ir izvēlēts, augstākminētās simetrijas pēc pieņemsim, ka tas ir \(2\). Tālāk aplūkojam iespējamos gadījumus.

1. Skaitlis \(3\) ir izvēlēts (kopā ar \(35; 1\) un \(2\)). Tad \(34\) noteikti nav izvēlēts, citādi mums būtu trīs starpības \(1\ (35-34=3-2=2-1=1)\). Tad \(33\) noteikti ir izvēlēts, citādi mums būtu tikai viena starpība \(34\), viena \(33\) un viena \(32\) (ko var iegūt tikai \(3\) veidos \(35-3=34-2=33-1=32\)).

Ja mums ir izvēlēti skaitļi \(1,\ 2,\ 3,\ 33,\ 35\), tad noteikti nav izvēlēti \(4\) un \(32\), jo citādi mums būtu vairāk nekā divas starpības \(1\). Tas nozīmē, ka mums ir tikai viena starpība \(31\) (jo nav ne \(2\), ne \(4\), ne \(32\)), kas kopā ar to, ka mums ir tikai viena starpība \(33\) un viena starpība \(34\) dod pretrunu.

1. Skaitlis \(3\) nav izvēlēts. Tad \(34\) ir izvēlēts, jo pretējā gadījumā mums būtu tikai viena starpība \(32\) (ja ne \(3\), ne \(34\) nav) viena \(33\) un viena \(34\). Tātad mums ir izvēlēti skaitļi \(1,\ 2,\ 34,\ 35\), kas nozīmē, ka nav ne \(3\), ne \(33\), lai nebūtu vairāk kā divas starpības \(1\). Tas nozīmē, ka mums jau ir tikai viena starpība \(34\) un tikai viena starpība \(32\), kas nozīmē, ka visām pārējām starpībām jābūt pieņemtām tieši divreiz. Tātad \(4\) un \(32\) noteikti ir izvēlēti, lai varētu iegūt divas starpības \(31\). No tā, ka mums ir izvēlēti \(1,\ 2,\ 4,\ 32,\ 34,\ 35\) (un nav \(3\) un \(33\)) seko, ka mums noteikti nav izvēlēti \(5,\ 6,\ 30\) un \(31\), lai nebūtu par daudz starpību \(1\) vai \(2\). Bet tas savukārt nozīmē, ka mums nav nevienas starpības \(29\) (ko var iegūt tikai \(6\) veidos: kā \(35-6=34-5=33-4=32-3=31-2=30-1=29\)), kas kopā ar to, ka mums ir tikai viena starpība \(34\) dod pretrunu.