Atrisinājums

Novelkam \(KM,\ BD\) un ar \(E\) apzīmējam \(BD\) un \(AM\) krustpunktu (skat. 8.att.). Uz stara \(AM\) atliekam tādu punktu \(A^{\prime}\), ka \(A^{\prime}M=AM=3\), tad \(A^{\prime}AK\) ir vienādmalu trijstūris, jo tas ir vienādsānu trijstūris, kura virsotnes leņķis ir \(60^{\circ}\), tātad abi pamata pieleņķi arī ir \(60^{\circ}\). Tāpēc tā mediāna \(KM\) ir arī augstums, tātad \(\sphericalangle KMA=90^{\circ}\). Pēc Pitagora teorēmas iegūstam, ka \(KM=3 \sqrt{3}\).

Nogrieznis \(KM\) ir trijstūra \(BCD\) viduslīnijia, tāpēc \(BD=2KM=6 \sqrt{3}\) un \(\sphericalangle MEB=90^{\circ}\).

Tā kā \(\sphericalangle MED=\sphericalangle AEB\) kā krustleņķi un \(\sphericalangle EMD=\sphericalangle EAB\) kā iekšējie škērsleņķi pie paralēlām taisnēm, tad \(\triangle MED \sim \triangle AEB\) pēc pazīmes \(\ell \ell\) un \(\frac{ME}{AE}=\frac{ED}{EB}=\frac{MD}{AB}=\frac{1}{2}\), no kā iegūstam \(ED=\frac{1}{3} BD=2 \sqrt{3}\) un \(AE=\frac{2}{3} AM=2\). Pēc Pitagora teorēmas \(\triangle AED\), iegūstam \(AD=\sqrt{AE^{2}+ED^{2}}=\sqrt{4+12}=4\).

Piezīme. Malas \(KM\) garumu var aprēķināt arī izmantojot kosinusu <<<<<<< HEAD teorēmu trijstūrī \(KAM\) : ======= teorēmu trijstūrī \(KAM\):

52493569e01e32faa41676aa42a782d2400ab975

\[KM^{2}=AK^{2}+AM^{2}-2 \cdot AK \cdot AM \cdot \cos \sphericalangle KAM \quad \Rightarrow \quad KM=3 \sqrt{3}\]

Pamatot, ka \(\sphericalangle KMA=90^{\circ}\), var arī izmantojot Pitagora teorēmas apgriezto teorēmu, tas ir, tā kā \(AK^{2}+KM^{2}=AM^{2}\), tad trijstūris \(KAM\) ir taisnleņķa.