Atrisinājums

No tā, ka \(GANGA\), dalot ar \(7\), dod atlikumu \(A,\ GANGA\), dalot ar \(11\), dod atlikumu \(N\), bet \(GANGA\), dalot ar \(13\), dod atlikumu \(G\), izriet, ka \((\overline{GANGA}-A)\) dalās ar \(7,\ (\overline{GANGA}-N)\) dalās ar \(11\) un \((\overline{GANGA}-G)\) dalās ar \(13\).

Pārveidojam doto skaitli

\[\overline{GANGA}=\overline{GA} \cdot 1000+N \cdot 100+\overline{GA}=1001 \cdot \overline{GA}+100 N=13 \cdot 11 \cdot 7 \cdot \overline{GA}+100N\]

Pirmais saskaitāmais dalās gan ar \(13\), gan ar \(11\), gan ar \(7\). Lai \((\overline{GANGA}-G)\) dalītos ar \(13,\ (100N-G)\) ir jādalās ar \(13\). Ievērojot, ka

\[100N-G=91N+9N-G=13 \cdot 7N+9N-G\]

iegūstam, ka \((9N-G)\) jādalās ar \(13\). Līdzīgi, ar \(7\) ir jādalās \((100N-A)\). Pārveidojot

\[100N-A=98N+2N-A=7 \cdot 14N+2N-A\]

iegūstam, ka \((2N-A)\) jādalās ar \(7\). Visbeidzot ar \(11\) ir jādalās \(100N-N=99 N\), kas vienmēr izpildās. Tā kā \(A\) ir atlikums, kas rodas, skaitli dalot ar \(7\), tad \(A \leq 6\), un tā kā \(A>N\), tad lielākā iespējamā \(N\) vērtība ir \(5\). Apskatīsim visus gadījumus. | \(\boldsymbol{N}\) | \(\mathbf{9N}-\boldsymbol{G}\) | \(\boldsymbol{G}\), **lai** \((\mathbf{9N}-\boldsymbol{G}) \vdots \mathbf{13}\) | \(\mathbf{2N}-\boldsymbol{A}\) | \(\boldsymbol{A}\), **lai** \((\mathbf{2N}-\boldsymbol{A}) \vdots \mathbf{7}\) | \(\overline{\mathbf{GANGA}}\) | | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | | \(\mathbf{0}\) | \(-G\) | \(0\) (neder, jo \(N=0\) ) | | | | | \(\mathbf{1}\) | \(9-G\) | \(9\) | \(2-A\) | \(2\) <br> \(9\) (neder, jo \(G=9)\) | \(92192\) | | \(\mathbf{2}\) | \(18-G\) | \(5\) | \(4-A\) | \(4\) | \(54254\) | | \(\mathbf{3}\) | \(27-G\) | \(1\) (neder, jo \(G < N)\) | | | | | \(\mathbf{4}\) | \(36-G\) | nav | | | | | \(\mathbf{5}\) | \(45-G\) | \(6\) | \(10-A\) | \(3\) (neder, jo \(A < N\) ) | | Tātad sākotnējais skaitlis varēja būt \(54254\) vai \(92192\).