Atrisinājums

Nogriežņu \(MN\) un \(QR\) krustpunktu apzīmējam ar \(O,\ OQ=ON=OR=x\) (kā rādiusi) un \(PQ=RS=y\). Simetrijas dēļ \(OP=OS=OM=x+y\). Aprēķinām laukumus:

\(S_{MN}=\left(\frac{MN}{2}\right)^{2} \pi=\frac{(2x+y)^{2}}{4} \pi=\frac{\pi}{4}\left(4x^{2}+4xy+y^{2}\right)=\pi\left(x^{2}+xy+\frac{1}{4} y^{2}\right);\)

\(S_{\text {iekrāsotais }}=\frac{1}{2} S_{QR}+\frac{1}{2} S_{PS}-S_{PQ}=\frac{1}{2} OR^{2} \pi+\frac{1}{2} OS^{2} \pi-\left(\frac{PQ}{2}\right)^{2} \pi=\pi\left(\frac{1}{2} x^{2}+\frac{1}{2}(x+y)^{2}-\left(\frac{y}{2}\right)^{2}\right)=\)

\(=\pi\left(\frac{1}{2} x^{2}+\frac{1}{2} x^{2}+xy+\frac{1}{2} y^{2}-\frac{1}{4} y^{2}\right)=\pi\left(x^{2}+xy+\frac{1}{4} y^{2}\right)\).

Tātad esam pierādījuši, ka iekrāsotās figūras laukums ir vienāds ar laukumu riņķim, kura diametrs ir \(MN\).