Atrisinājums

Apzīmējam \(AB=CD=a,\ DE=p,\ OA=OB=OC=OD=y\) (kur punkts \(O\) ir diagonālu krustpunkts), \(BF=x\) un \(\sphericalangle DBC=\sphericalangle DAC=\sphericalangle CBF=\alpha\) (skat. 7.att.). Trijstūra \(BEC\) augstums pret \(BC\) ir \(h_{1}\), bet trijstūra \(BFC\) augstums pret \(BC\) ir \(h_{2}\).

Tad \(S(ABCD)=BC \cdot a\) un \(S(BEF)=S(BEC)+S(BCF)=\frac{1}{2} BC \cdot h_{1}+\frac{1}{2} BC \cdot h_{2}=BC \cdot \frac{h_{1}+h_{2}}{2}\).

Tātad nepieciešams pierādīt, ka \(h_{1}+h_{2}>2a\).

Tā kā \(\triangle OEC \sim \triangle BEF\), jo leņķi \(BEF\) krusto divas paralēlas taisnes \(OC\) un \(BF\), tad \(\frac{OE}{BE}=\frac{OC}{BF}\) jeb \(\frac{p+y}{p+2y}=\frac{y}{x}\). Izsakām \(x=y \cdot \frac{p+2y}{p+y}\).

No \(\triangle BCD\) iegūstam, ka \(\sin \alpha=\frac{CD}{BD}=\frac{a}{2y}\).

Apskatām summu \(h_{1}+h_{2}\) :

\[h_{1}+h_{2}=(2y+p) \sin \alpha+x \sin \alpha=(2y+p+x) \sin \alpha=\left(2y+p+y \frac{p+2y}{p+y}\right) \frac{a}{2y}=a \frac{p^{2}+4py+4y^{2}}{2py+2y^{2}}\]

Tā kā \(p>0\), tad \(p^{2}>0\) un \(a \frac{p^{2}+4py+4y^{2}}{2py+2y^{2}}>a \frac{p^{2}+4py+4y^{2}}{\frac{p^{2}}{2}+2p y+2y^{2}}=2a\), kas arī bija jāpierāda.