Atrisinājums

Tā kā abas nevienādības puses ir pozitīvas, tad, kāpinot kvadrātā, iegūstam

\[\begin{gathered} x^{2}+y^{2}+2 \cdot \sqrt{x^{2}+y^{2}} \cdot(2-\sqrt{2}) \sqrt{xy}+(4-4 \sqrt{2}+2) xy \geq x^{2}+2xy+y^{2} \\ 2 \cdot \sqrt{x^{2}+y^{2}} \cdot(2-\sqrt{2}) \sqrt{xy} \geq 4(\sqrt{2}-1) xy \end{gathered}\]

Izdalot abas nevienādības puses ar \(2 \sqrt{xy}>0\) un pēc tam kāpinot abas nevienādības puses kvadrātā (abas puses ir pozitīvas), pakāpeniski iegūstam

\[\begin{aligned} & \sqrt{x^{2}+y^{2}} \cdot(2-\sqrt{2}) \geq 2(\sqrt{2}-1) \sqrt{xy} \\ & \left(x^{2}+y^{2}\right) \cdot(6-4 \sqrt{2}) \geq 4(3-2 \sqrt{2}) xy \end{aligned}\]

Izdalot abas nevienādības puses ar \((6-4 \sqrt{2})>0\), iegūstam \(x^{2}+y^{2} \geq 2xy\) jeb \((x-y)^{2} \geq 0\). Tā kā skaitļa kvadrāts ir nenegatīvs, tad pēdējā nevienādība ir patiesa. Tā kā tika veikti ekvivalenti pārveidojumi, tad arī dotā nevienādība ir patiesa visiem reāliem skaitļiem \(x\).