Atrisinājums

(A) Ja \(N=14\), tad noteikti var uzvarēt spēlētājs \(A\). Pirmajā gājienā spēlētājam \(A\) jānovelk diametrs. Pēc katra spēlētāja \(B\) gājiena spēlētājs \(A\) pārbauda, vai ir iespējams novilkt hordu tā, lai veidotos trijstūris. Ja tādu hordu var novilkt, tad spēlētājs \(A\) to novelk un līdz ar to uzvar. Ja tādu hordu nav iespējams novilkt, tad spēlētājs \(A\) velk hordu, kas ir simetriska spēlētāja \(B\) tikko novilktajai hordai attiecībā pret pirmajā gājienā novilkto diametru (piemēram, skat. 4.att.). Kamēr spēlētājs \(B\) var novilkt hordu, arī spēlētājs \(A\) simetriski attiecībā pret novilkto diametru var novilkt hordu. Tā kā iespējas novilkt hordu ar katru gājienu samazinās, tad pienāks brīdis, kad \(B\) novilks hordu tā, ka spēlētājs \(A\) savā nākamajā gājienā varēs izveidot trijstūri un būs uzvarējis.

(B) Ja \(N=15\), tad noteikti var uzvarēt spēlētājs \(B\). Tā kā pēdējā gājienā tiek novilkta trijstūra trešā mala (to izdara uzvarētājs) un pirmspēdējā gājienā tiek novilkta trijstūra otrā mala (to izdara zaudētājs), tad, lai uzvarētu, spēlētāji visā spēles gaitā izvairās vilkt tās hordas, kurām kāda virsotne sakrīt ar jau novilktu hordu. Tāpēc varam analizēt šādu spēli: spēlētāji velk hordas tā, lai tās nekrustotos un lai neizmantotu ar novilktajām hordām kopīgus galapunktus, tādā gadījumā uzvarētājs ir tas, kurš novelk pēdējo šādu hordu. Neizmantotos punktus jau novilktās hordas sadala vairākās grupās - vienā grupā nonāk tie punkti, kurus joprojām var savienot ar hordu. Katrā gājienā spēlētājs var izvēlēties vienu no esošajām grupām un tajās esošos punktus ar hordu sadalīt divās grupās. Tās grupas, kurās ir \(0\) vai \(1\) punkts, atmetam, jo tās neiespaido turpmāko spēles gaitu.

Piemēram, pirms tiek novilkta horda \(CE\) (skat. 5.att.), brīvie punkti sadalās grupās: \(\{A, B, H, I\};\{C, E, F, G\}\) (tā kā punkts \(D\) ir viens pats, tad to vienojāmies atmest). Šo pozīciju, kad ir divas grupas katrā pa \(4\) neizmantotiem punktiem, apzīmēsim \((4, 4)\). Tad, kad tiek novilkta horda \(CE\), iegūstam grupas : \(\{A, B, H, I\}\) un \(\{F, G\}\). Tātad tiek izdarīts gājiens no pozīcijas \((4, 4)\) uz pozīciju \((4, 2)\), apzīmēsim \((4, 4) \rightarrow(4, 2)\).

Lai pierādītu, ka spēlētājs \(B\) noteikti var uzvarēt, aplūkosim visus iespējamos spēlētāja \(A\) gājienus no sākuma pozīcijas \((15)\) un katram no šiem gājieniem atradīsim atbilstošu spēlētāja \(B\) gājienu, kas viņam nodrošinās uzvaru. Starp \(15\) punktiem spēlētājs \(A\) var novilkt hordu septiņos dažādos veidos, katrā no šiem gadījumiem spēlētājs \(B\) var turpināt šādi:

\[15 \rightarrow\left\{\begin{aligned} (13) & \rightarrow(\mathbf{8}, \mathbf{3}) \\ (12) & \rightarrow(\mathbf{5}, \mathbf{5}) \\ (11,2) & \rightarrow(\mathbf{8}, \mathbf{2}) \\ (10,3) & \rightarrow(\mathbf{8}, \mathbf{3}) \\ (9,4) & \rightarrow(\mathbf{9}) \\ (8,5) & \rightarrow(\mathbf{5}, \mathbf{5}) \\ (7,6) & \rightarrow(\mathbf{7}, \mathbf{3}) \end{aligned}\right.\]

Pamatosim, ka treknrakstā izceltās pozīcijas ir "uzvarošās", tas ir, ja šādā pozīcijā spēlētājs nonāk, tad viņš sev var nodrošināt uzvaru. Ievērosim, ja pēc spēlētāja \(B\) gājiena ir pozīcija \((\boldsymbol{m}, \boldsymbol{m})\), tad spēlētājs \(B\) var uzvarēt, turpmāk izdarot pretinieka gājieniem simetriskus gājienus otrā punktu grupā. Spēlētājs \(A\) no pozīcijas \((\mathbf{8}, \mathbf{3})\) un no pozīcijas \((\mathbf{8}, \mathbf{2})\) hordu var novilkt piecos dažādos veidos, katrā no šiem gadījumiem spēlētājs \(B\) var turpināt šādi:

\[(\mathbf{8}, \mathbf{3}) \rightarrow\left\{\begin{array} {c} {(8) \rightarrow ( \mathbf {3, 3})} \\ {(6, 3) \rightarrow ( \mathbf {3, 3})} \\ {(5, 3) \rightarrow ( \mathbf {3, 3})} \\ {(4, 2, 3) \rightarrow ( \mathbf {2, 3}} \\ {(3, 3, 3) \rightarrow ( \mathbf {3, 3}} \end{array} \right. \quad ( \mathbf {8} , \mathbf {2}) \rightarrow \left\{\begin{array}{c} (8) \rightarrow(\mathbf{3,3}) \\ (6,2) \rightarrow(\mathbf{2,3}) \\ (5,2) \rightarrow(\mathbf{2,3}) \\ (4,2,2) \rightarrow(\mathbf{2, 2}) \\ (3,3,2) \rightarrow(\mathbf{3,3}) \end{array}\right.\]

Pozīcija \((2,3)\) ir uzvarošā spēlētājam \(B\), jo no tās var izdarīt tieši divus gājienus. Spēlēājs \(A\) no pozīcijas \((9)\) un no pozīcijas \((7,3)\) hordu var novilkt četros dažādos veidos, katrā no šiem gadījumiem spēlētājs \(B\) var turpināt šādi:

\[(\mathbf{9}) \rightarrow\left\{\begin{array} {c} {(7) \rightarrow (\mathbf{2, 3})} \\ {(6) \rightarrow (\mathbf{2, 2})} \\ {(5, 2) \rightarrow (\mathbf{2, 2})} \\ {(4, 3) \rightarrow (\mathbf{2, 3})} \end{array} \right. \quad (\mathbf{7, 3}) \rightarrow \left\{\begin{array}{c} (7) \rightarrow(\mathbf{2,3}) \\ (6) \rightarrow(\mathbf{2,2}) \\ (5,2) \rightarrow(\mathbf{2,2}) \\ (4,3) \rightarrow(\mathbf{2,3}) \end{array}\right.\]

Līdz ar to esam ieguvuši uzvarošu stratēģiju spēlētājam \(B\): katrā savā gājienā viņš novelk hordu tā, lai nonāktu "uzvarošajā" pozīcijā, kas izcelta treknrakstā. Visos gadījumos spēlētājs \(B\) nonāks pozīcijā \((2,3)\) vai \((\boldsymbol{m}, \boldsymbol{m})\) un vēl pēc pāra skaita gājieniem būs tas, kurš novelk pēdējo hordu, kurai ar jau novilktajām hordām nav kopīgu galapunktu.