Atrisinājums

Pierādīsim, ka no jebkuriem pieciem naturāliem skaitļiem var izvēlēties trīs skaitļus tā, ka to summa dalās ar \(3\). Skaitli, dalot ar \(3\), var iegūt atlikumu \(0;\ 1\) vai \(2\).

• Ja starp pieciem dotajiem skaitļiem ir trīs skaitļi, kas dod vienādu atlikumu, dalot ar \(3\), tad to summa dalās ar \(3\), jo \(0+0+0 \equiv 0(\bmod 3);\ 1+1+1 \equiv 0(\bmod 3);\ 2+2+2 \equiv 0(\bmod 3)\).
• Ja nav trīs skaitļu, kas dod vienādu atlikumu, dalot ar \(3\), tad ir vismaz viens skaitlis no katra atlikuma veida. Šo trīs skaitļu summa dalās ar \(3\), jo \(0+1+2 \equiv 0(\bmod 3)\).

Izmantojot iepriekš pierādīto, no sākotnējiem \(17\) skaitļiem varam izveidot piecas grupas pa trīs skaitļiem tā, lai tajās esošo skaitļu summa dalās ar \(3\). Apzīmējam

\(\{a_{1}, a_{2}, a_{3} \}\); \(\{b_{1}, b_{2}, b_{3}\}\); \(\{c_{1}, c_{2}, c_{3}\}\); \(\{d_{1}, d_{2}, d_{3}\}\); \(\{e_{1}, e_{2}, e_{3}\}.\)

Skaitļus, kurus iegūst katras grupas skaitļu summu dalot ar \(3\), apzīmējam attiecīgi ar \(A,\ B,\ C,\ D\) un \(E\). No iepriekš pierādītā izriet, ka no šiem pieciem iegūtajiem skaitļiem var izvēlēties trīs tā, ka to summa dalās ar \(3\). Nezaudējot vispārīgumu, pieņemsim, ka \(A+B+C\) dalās ar \(3\) jeb

\[A+B+C=3n,\]

kur \(n\) - naturāls skaitlis. Tā kā \(A=\frac{a_{1}+a_{2}+a_{3}}{3};\ B=\frac{b_{1}+b_{2}+b_{3}}{3};\ C=\frac{c_{1}+c_{2}+c_{3}}{3}\), tad iegūstam

\[\frac{a_{1}+a_{2}+a_{3}}{3}+\frac{b_{1}+b_{2}+b_{3}}{3}+\frac{c_{1}+c_{2}+c_{3}}{3}=3n\]

Reizinot abas vienādības puses ar \(3\), iegūstam

\[a_{1}+a_{2}+a_{3}+b_{1}+b_{2}+b_{3}+c_{1}+c_{2}+c_{3}=9n.\]

Tātad esam ieguvuši, ka \(a_{1}+a_{2}+a_{3}+b_{1}+b_{2}+b_{3}+c_{1}+c_{2}+c_{3}\) dalās ar \(9\) un prasītais ir pierādīts.