Dotas \(40\) kartītes, uz divām no tām uzrakstīts skaitlis \(1\), uz divām - skaitlis \(2,\ \ldots\), uz divām - skaitlis \(20\). Kāds ir lielākais iespējamais komplektu skaits, ko vienlaicīgi var izveidot no šīm \(40\) kartītēm tā, lai katrā komplektā būtu trīs kartītes, uz kurām uzrakstīto skaitļu summa ir \(21\)?
Lielākais komplektu skaits ir astoņi, piemēram, \((6,\ 7,\ 8);\ (5,\ 7,\ 9);\ (4,\ 5,\ 12);\ (3,\ 4,\ 14);\ (3,\ 6,\ 12);\ (2,\ 8,\ 11);\ (2,\ 9,\ 10);\ (1,\ 1,\ 19)\).
Pierādīsim, ka vairāk kā astoņus komplektus izveidot nevar. Ja varētu izveidot deviņus komplektus, tad būtu izmantotas \(27\) kartītes un uz tām uzrakstīto skaitļu summa būtu \(9 \cdot 21=189\), bet pati mazākā skaitļu summa, ko var iegūt no \(27\) kartītēm, ir
\[2 \cdot 1+2 \cdot 2+2 \cdot 3+\cdots+2 \cdot 13+14=2 \cdot(1+2+\cdots+13)+14=2 \cdot \frac{(1+13) \cdot 13}{2}+14=196\]
kas jau ir lielāka nekā \(189\). Tātad deviņus komplektus izveidot nevar.