Atrisinājums

Apzīmēsim malu \(AB,\ BC,\ CD\) un \(DA\) malu viduspunktus attiecīgi ar \(E,\ F,\ G\) un \(H\) (skat. 2.att.). Nogrieznis \(EF\) ir trijstūra \(ABC\) viduslīnija, tāpēc \(EF \parallel AC\) un \(EF=\frac{1}{2} AC\). Līdzīgi, \(HG\) ir \(\triangle ACD\) viduslīnija, tāpēc \(HG \parallel AC\) un \(HG=\frac{1}{2} AC\).

No \(\triangle ABD\) un \(\triangle BCD\) līdzīgi iegūst, ka \(EH=FG=\frac{1}{2} BD\) un \(EH \parallel FG\).

Tātad četrstūris \(EFGH\) ir paralelograms, jo tā pretējās malas ir vienādas. Tā kā visas četrstūra \(EFGH\) virsotnes atrodas uz riņķa līnijas \(\omega_{2}\), tad \(EFGH\) ir taisnstūris, no kurienes izriet, ka \(BD \perp AC\). Tātad \(\triangle DOC\) (punkts \(O\) ir \(AC\) un \(BD\) krustpunkts) ir taisnleņķa un \(\sphericalangle ODC+\sphericalangle OCD=90^{\circ}\) jeb \(\sphericalangle BDC+\sphericalangle ACD=90^{\circ}\). Tā kā \(\sphericalangle ABD=\sphericalangle ACD\) kā ievilktie leņķi, kas balstās uz viena un tā paša loka \(AD\), tad \(\sphericalangle BDC+\sphericalangle ABD=90^{\circ}\).