Atrisinājums

Ievērojam, ka jebkurš no cipariem \(0,2,4,5,6,8\) skaitļa pierakstā ļauj to pārcelt uz beigām un iegūt skaitli, kas nav pirmskaitlis. Tādēļ vienīgais interesantais gadījums ir tad, ja skaitļa pierakstā četri dažādie cipari ir \(1,3,7,9\), bet daži var būt arī atkārtoti.

Pieļaujot gadījumus, ja skaitļa \(n\) pierakstā daži no cipariem \(1,3,7,9\) ir vairākas reizes, apzīmējam \(n_1 = 10000x + 1379\), kur \(1379\) ir četri dažādie cipari, kas novietoti skaitļa beigās, bet \(10000x\) ir skaitlis, ko veido visi atlikušie cipari, ja tādi ir. Skaitli \(10000x\) atstāsim nemainīgu, bet pārkārtosim ciparus tikai skaitlī \(1379\). To var izdarīt \(4! = 24\) dažādos veidos - tās ir visas četru ciparu permutācijas.

• Ja sākotnējais pirmskaitlis ir \(1973\), tad \(10000x = 0\), \(n_1 = 1379\), \(n_2 = 1397\) un visi citi skaitļi augošā secībā līdz \(n_{24} = 9731\).
• Ja sākotnējais pirmskaitlis ir \(31379\), tad \(10000x = 30000\), \(n_1 = 31379\), \(n_2 = 31397\) un visi citi augošā secībā līdz \(n_{24} = 39731\). (Visos šajos skaitļos mainās vietām tikai pēdējie četri cipari, bet pirmais trijnieks paliek nemainīgs).

Pamatosim, ka neatkarīgi no \(10000x\) vērtības ciparus \(1379\) var pārkārtot tā, lai kāds no skaitļiem \(n_i\) dalītos ar \(7\). To var viegli redzēt, apskatot dažas no \(24\) permutācijām in ievērojot, ka var iegūt jebkuru atlikumu, dalot ar \(7\):

[x % 7 for x in [1379, 1397, 1739, 1793, 1937, 1973, 3179, 3197, 3719, 3791, 3917, 3971]] [0, 4, 3, 1, 5, 6, 1, 5, 2, 4, 4, 2]

• \(1379 \equiv 0 \pmod 7\)
• \(1397 \equiv 4 \pmod 7\)
• \(1739 \equiv 3 \pmod 7\)
• \(1793 \equiv 1 \pmod 7\)
• \(1937 \equiv 5 \pmod 7\)
• \(1973 \equiv 6 \pmod 7\)
• \(3971 \equiv 2 \pmod 7\)

Piezīme. Ievērosim, ka skaitlis \(7\), ar ko mēģinām dalīt, ir izraudzīts "dabiski", jo dalāmība ar \(2\) vai \(5\) mūsu gadījumā (ja ir tikai cipari \(1,3,7,9\)) nav iespējama vispār. Dalāmību ar \(3\) neiespaido ciparu mainīšana vietām (dalāmības pazīme ar \(3\) jeb ciparu summa nav atkarīga no saskaitāmo secības). Dalāmība ar \(11\) nemainās, ja samaina ciparus nepāru pozīcijās (vai arī pāru pozīcijās) -- tātad, arī dalot ar \(11\) nevar sagaidīt daudzus atlikumus.