Atrisinājums

Apzīmēsim \(N=2016^{2016}-3\), tad dotais skaitlis ir \(\frac{N}{3}\).

Tā kā \(2016^{2016}\) ir pāra skaitlis, tad \(N\) ir nepāra un arī dotais skaitlis ir nepāra, tātad tas nedalās ar \(2\).

Ievērojam, ka \(2016\) dalās ar \(9\), tātad \(N \equiv 0^{2016}-3 \equiv 0-3 \equiv-3 \equiv 6(\bmod 9)\). Tā kā skaitlis \(N\) dalās ar \(3\), bet nedalās ar \(9\), tad dotajam skaitlim nav pirmreizinātājs \(3\).

No kongruences \(2016 \equiv 1(\bmod 5)\) izriet, ka \(N \equiv 1^{2016}-3 \equiv 1+2 \equiv 3(\bmod 5)\), tātad dotais skaitlis nedalās ar \(5\).

No kongruences \(2016 \equiv 0(\bmod 7)\) izriet, ka \(N \equiv 0-3 \equiv-3 \equiv 4(\bmod 7)\), tātad dotais skaitlis nedalās ar \(7\). Ievērosim, ka \(2016 \equiv 3(\bmod 11)\); tātad \(N \equiv 3^{2016}-3(\bmod 11)\). Virkne \(3^{n}, n=0,1,2, \ldots\), ir periodiska pēc moduļa \(11\); apskatīsim šīs virknes pirmos locekļus:

Tā kā \(3^{5} \equiv 3^{0} \equiv 1(\bmod 11)\), tad secinām, ka \(3^{2016} \equiv 3^{403 \cdot 5+1} \equiv\left(3^{5}\right)^{403} \cdot 3^{1} \equiv 1^{403} \cdot 3 \equiv 3(\bmod 11)\).

Līdz ar to \(N \equiv 3^{2016}-3 \equiv 0(\bmod 11)\), tātad gan \(N\), gan \(\frac{N}{3}\) dalās ar \(11\). Tātad dotā skaitļa mazākais pirmreizinātājs ir \(11\).