Atrisinājums

(A) Jā, skaitļus tabulā var ierakstīt, piemēram, skat. 2.att., kur pelēkā krāsā norādītas skaitļu starpības.

(B) Pamatosim, ka skaitļus tabulā nevar ierakstīt tā, lai izpildās uzdevuma nosacījumi. Skaitlim \(8\) blakus var atrasties tikai skaitļi \(1,\ 15\) un \(16\). Pieņemsim, ka \(1\) neatrodas blakus \(8\). Tad skaitlim \(8\) ir tikai divi kaimiņi, tātad tas atrodas stūrī (skat. 3.att.).

Skaitlim \(7\) var atrasties blakus tikai skaitļi \(14,\ 15,\ 16\), tātad tas noteikti ir blakus skaitlim \(15\) vai \(16\) (skat. 3.att.), līdz ar to tas atrodas kādā no vietām \(a,\ b,\ c\). Tas nevar būt \(b\) vietā, jo tur tam būtu četri kaimiņi. Tas nevar atrasties \(a\) vietā, jo tur tam ir trīs kaimiņi, bet viens no skaitļiem, kas tam varētu būt blakus (skaitlis \(16\)) tam blakus neatrodas. Līdzīgi skaitlis \(7\) nevar atrasties arī \(c\) vietā.

Līdz ar to esam ieguvuši, ka skaitļiem \(1\) un \(8\) jābūt blakus. Nezaudējot vispārīgumu, varam pieņemt, ka skaitļi izkārtoti tā, kā parādīts 4.att. Skaitlis \(x\) nevar būt \(15\), jo tad \(y\) vietā būtu jāieraksta skaitlis \(8\), bet tas jau ir ierakstīts tabulā. Tātad \(x\) vietā jābūt skaitlim \(16\), un tad vienīgā iespējamā \(y\) vērtība ir \(9\). Līdz ar to esam ieguvuši 5.att. parādīto skaitļu izkārtojumu.

Ievērojam, ka skaitlim \(9\) blakus rūtiņās var būt ierakstīti tikai skaitļi \(1,\ 2,\ 16\). Tātad skaitlis \(8\) nav stūrī, jo tad skaitlim \(9\) būtu četri kaimiņi. Tieši tāpat stūrī nav arī skaitlis \(9\), jo tad skaitlim \(8\) būtu četri kaimiņi. Tātad tiem ir vēl pa vienam kaimiņam. Skaidrs, ka skaitlim \(8\) vēl ir kaimiņš \(15\), bet skaitlim \(9\) vēl ir kaimiņš \(2\). Iespējami divi gadījumi, kur attiecībā pret skaitli \(8\) var būt ierakstīts skaitlis \(15\) (skat. 6.att. un 7.att.). Neviens no šiem gadījumiem nav iespējams, jo \(z\) vietā būtu jāieraksta skaitlis \(9\), bet \(t\) vietā - skaitlis \(8\).