Aplūko visus tos funkciju \(y=x^{2}+px+q\) grafikus, kuriem ir trīs dažādi krustpunkti ar koordinātu asīm. Katram no tiem caur šiem trim krustpunktiem novelk riņķa līniju. Pierādīt, ka visām šīm riņķa līnijām ir kopīgs punkts!
Šo trīs krustpunktu koordinātas ir
\[(0; q), \quad\left(-\frac{p}{2}+\sqrt{\frac{p^{2}}{4}-q}; 0\right), \quad\left(-\frac{p}{2}-\sqrt{\frac{p^{2}}{4}-q}; 0\right)\]
Noteiksim, kur atrodas riņķa līnijas, kas iet caur šiem trim punktiem, centrs. Abscisas vērtība ir \(x=-\frac{p}{2}\). Atliek noskaidrot ordinātas vērtību. Izmantojot riņķa līnijas ar centru punktā \((a; b)\) un rādiusu \(r\) vienādojumu \((x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}\), iegūstam\[\begin{aligned} & r^{2}=\left(0+\frac{p}{2}\right)^{2}+\left(q-y_{\text {centrs }}\right)^{2}=\left(-\frac{p}{2}+\sqrt{\frac{p^{2}}{4}-q}+\frac{p}{2}\right)^{2}+\left(0-y_{\text {centrs }}\right)^{2} \\ & \frac{p^{2}}{4}+q^{2}-2qy_{\text {centrs }}+y_{\text {centrs }}^{2}=\frac{p^{2}}{4}-q+y_{\text {centrs }}^{2} \\ & y_{\text {centrs }}=\frac{q+1}{2} \end{aligned}\]
Tātad \(r^{2}=\frac{p^{2}}{4}+\frac{(q-1)^{2}}{4}\) jeb \(r=\frac{\sqrt{p^{2}+(q-1)^{2}}}{2}\) un riņķa līnijas centra koordinātas ir \(\left(-\frac{p}{2}; \frac{q+1}{2}\right)\). Aplūkojam, kāds ir attālums no punkta \((0; 1)\) līdz riņķa līnijas centram:\[d^{2}=\left(0+\frac{p}{2}\right)^{2}+\left(1-\frac{q+1}{2}\right)^{2}=\frac{p^{2}}{4}+\frac{(1-q)^{2}}{4}=r^{2}\]
Tātad caur punktu \((0; 1)\) iet visas minētā veida riņķa līnijas.