Zināms, ka \(x,\ y\) un \(z\) ir tādi naturāli skaitļi, ka \(x^{3}y^{5}z^{6}\) ir naturāla skaitļa septītā pakāpe. Pierādīt, ka arī \(x^{5}y^{6}z^{3}\) ir naturāla skaitļa septītā pakāpe!
Apzīmējam \(x^{3}y^{5}z^{6}=a^{7}\), kur \(a\) - naturāls skaitlis. Kāpinot abas puses ceturtajā pakāpē, iegūstam \(x^{12}y^{20}z^{24}=a^{28}\). Izsakām
\[x^{5}y^{6}z^{3}=\frac{a^{28}}{x^{7}y^{14}z^{21}}=\left(\frac{a^{4}}{xy^{2}z^{3}}\right)^{7}\]
Skaitlis \(x^{5}y^{6}z^{3}\) ir naturāls skaitlis, tāpēc arī \(\left(\frac{a^{4}}{xy^{2}z^{3}}\right)^{7}\) ir naturāls. Ja \(a^{4}\) nedalītos ar \(xy^{2}z^{3}\), tad \(\frac{a^{4}}{xy^{2}z^{3}}\) varētu izteikt kā nesaīsināmu daļu \(\frac{m}{n}\). Bet tad arī \(\frac{m^{7}}{n^{7}}\) būtu nesaīsināma daļa, taču tam jābūt naturālam skaitlim - pretruna. Tāpēc \(a^{4}\) dalās ar \(xy^{2}z^{3}\) un tātad arī \(x^{5}y^{6}z^{3}\) ir naturāla skaitļa \(7.\) pakāpe.