Pierādīt, ka katram naturālam skaitlim \(n(n>1)\) var atrast tādus naturālus skaitļus \(x\) un \(y(x \leq y)\), ka
\[\frac{1}{n}=\frac{1}{x(x+1)}+\frac{1}{(x+1)(x+2)}+\cdots+\frac{1}{y(y+1)}\]
Apgalvojums: Ir spēkā identitāte \(\frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\).
Piemēri:
\[\frac{1}{6}=\frac{1}{2\cdot{}3} = \frac{1}{2}-\frac{1}{3},\]
\[\frac{1}{12}=\frac{1}{3\cdot{}4} = \frac{1}{3}-\frac{1}{4},\]
\[\frac{1}{20}=\frac{1}{4\cdot{}5} = \frac{1}{4}-\frac{1}{5}.\;\cdots\]
Katru daļu, kuras saucējā ir divu sekojošu skaitļu reizinājums, var izteikt kā starpību. Izmantojam šo identitāti, lai pārveidotu izteiksmi:\[\frac{1}{n}=\frac{1}{x(x+1)}+\frac{1}{(x+1)(x+2)}+\cdots{}+\frac{1}{y(y+1)}.\]
\[\frac{1}{n}=\left( \frac{1}{x} - \frac{1}{x+1} \right) + \left( \frac{1}{x+1} - \frac{1}{x+2} \right) +\]
\[+\cdots+\left( \frac{1}{y} - \frac{1}{y+1} \right) = \frac{1}{x} - \frac{1}{y+1}\]
Vai jebkuru daļu \(\frac{1}{n}\) var izteikt kā \(\frac{1}{x} - \frac{1}{y+1}\)? Izmantojam vienādības no iepriekšējā slaida. Piemēram, ja \(n=5\):\[\frac{1}{5} = \frac{1}{4} - \frac{1}{20}.\]