Atrisinājums

(A) Visas regulāra \(2016\) - stūra virsotnes atrodas uz vienas riņķa līnijas. Ievilkts leņķis ir taisns tikai tādā gadījumā, ja tas balstās uz diametra. Tātad, ja kāda diametra abi galapunkti būtu balti, tad visi pārējie punkti būtu jānokrāso melni, jo diametra galapunkti ar jebkuru trešo punktu veido taisnleņķa trijstūri. Līdz ar to katra diametra vismaz viens galapunkts ir jānokrāso melns. Tātad melnas jānokrāso vismaz \(\frac{2016}{2}=1008\) regulārā \(2016\) - stūra virsotnes. Ja katra diametra vienu galapunktu nokrāso melnu, tad nepaliek neviens taisnleņķa trijstūris, kuram visas virsotnes ir baltas. Tātad mazākais punktu skaits, kas jānokrāso melni, ir \(1008\).

(B) Ja melnas nokrāso \(1007\) pēc kārtas esošas virsotnes, tad no atlikušajām \(1009\) virsotnēm var izveidot tikai taisnleņķa vai platleņķa trijstūrus, jo katra trijstūra viens leņķis balstās uz loka, kura lielums ir vismaz \(90^{\circ}\) (skat. 9.att.).

Pierādīsim, ka mazāk virsotnes nevar nokrāsot, lai izpildītos uzdevuma nosacījumi.

Pieņemsim, ka melnas nokrāsotas ne vairāk kā \(1006\) virsotnes, tad baltas ir palikušas vismaz \(1010\) virsotnes. Tā kā ir tieši \(1008\) diametri, kuriem abi galapunkti atrodas regulārā \(2016\) - stūra virsotnēs, tad būs vismaz divi diametri kuriem abi galapunkti ir balti (Dirihlē princips). Šos diametrus apzīmējam ar \(AB\) un \(CD\) (skat. 10.att.). Izvēlamies kādu punktu \(E\), kurš ir balts (nezaudējot vispārīgumu, varam pieņemt, ka tas atrodas uz loka \(AC\)), bet tad trijstūris \(BDE\) ir šaurleņķu, jo visi trīs loki \(EB,\ BD,\ DE\) ir mazāki nekā \(180^{\circ}\), tātad trijstūra leņķi ir mazāki nekā \(90^{\circ}\), jo tie ir ievilktie leņķi, kas balstās uz šiem lokiem.