Atrisinājums

(A)
Nē, trīs malu garumi nevar būt pirmskaitļi. Taisnleņķa trijstūrī malu garumi \(a\), \(b\) un \(c\) apmierina Pitagora teorēmu: \(a^2 + b^2 = c^2\). Vismaz viens no skaitļiem \(a\), \(b\), \(c\) ir pāra skaitlis, jo
divu nepāra skaitļu \(a^2\) un \(b^2\) summa nevar būt nepāra skaitlis \(c^2\). Tā kā \(a,b,c>5\), tad pāra skaitlis noteikti nav pirmskaitlis.

(B) Jā, divu malu garumi var būt pirmskaitļi. Piemēram, der malu garumi \(11, 60, 61\), jo divi no tiem ir pirmskaitļi un tiem izpildās Pitagora teorēmas nosacījums, tas ir, \(11^2 + 60^2 = 61^2\) jeb \(121 + 3600 = 3721\).

Piezīme: Paliek neatbildēts jautājums - kā uzminēt šos skaitļus \((11,60,61)\)? Bezgalīgi daudzus Pitagora trijniekus \((a,b,c)\), kam \(b + 1 = c\) (katete par 1 vienību īsāka nekā hipotenūza) var iegūt, izmantojot algebrisku sakarību:

\[a^2 = c^2 - b^2 = (c+b)(c-b) = (c + b) \cdot 1 = c+b.\]

Varam atrast dažādus blakusesošu skaitļu pārus \((b,c)\), kuru summa ir nepāra skaitļa kvadrāts \(a^2\): * \(3^2 = 9 = 4 + 5\), tāpēc \((a,b,c) = (3,4,5)\) ir Pitagora trijnieks. * \(5^2 = 25 = 12 + 13\), tāpēc \((a,b,c) = (5,12, 13)\) ir Pitagora trijnieks. * \(7^2 = 49 = 24 + 25\), tāpēc \((7,24,25)\) ir Pitagora trijnieks. * \(9^2 = 81 = 40 + 41\), tāpēc \((9, 40,41)\) ir Pitagora trijnieks. * \(11^2 = 121 = 60 + 61\), tāpēc \((11,60,61)\) ir Pitagora trijnieks. Un trijnieks \((11,60,61)\) ir tāds, kurā atradās divi pirmskaitļi. Der arī daži citi atrisinājumi, piemēram, \((19, 180, 181)\), Sk. Eiklīda formula Pitagora trijniekiem.