Doti tādi reāli skaitļi \(x,\ y\) un \(z\), ka \(x+y+z=3\). Pierādīt, ka \(xy+xz+yz \leq 3\).
Dotās vienādības abas puses kāpinot kvadrātā un pēc tam reizinot ar \(2\), iegūstam:
\[\begin{gathered} x^{2}+y^{2}+z^{2}+2xy+2xz+2yz=9 \\ 2x^{2}+2y^{2}+2z^{2}+4xy+4xz+4yz=18 \end{gathered}\]
Pieskaitot un atņemot vienādības kreisai pusei vienu un to pašu izteiksmi un pēc tam izmantojot starpības kvadrāta formulu, iegūstam:\[\begin{gathered} x^{2}-2xy+y^{2}+x^{2}-2xz+z^{2}+y^{2}-2yz+z^{2}+6xy+6xz+6yz=18 \\ (x-y)^{2}+(x-z)^{2}+(y-z)^{2}+6xy+6xz+6yz=18 \end{gathered}\]
Tā kā \((x-y)^{2}+(x-z)^{2}+(y-z)^{2} \geq 0\), tad \(6xy+6xz+6yz \leq 18\) jeb \(xy+xz+yz \leq 3\).