Atrisinājums

Apzīmējam \(\sphericalangle BAP=\sphericalangle PAC=\alpha\) un \(\sphericalangle BCQ=\sphericalangle QCA=\beta\) (skat. 8.att.). Ievilktie leņķi, kas balstās uz viena un tā paša loka, ir vienādi, tāpēc

• \(\sphericalangle BQP=\sphericalangle BAP=\alpha\) (balstās uz loka \(BP\));

• \(\sphericalangle PQC=\sphericalangle PAC=\alpha\) (balstās uz loka \(PC\));

• \(\sphericalangle BPQ=\sphericalangle BCQ=\beta\) (balstās uz loka \(BQ\));

• \(\sphericalangle QPA=\sphericalangle QCA=\beta\) (balstās uz loka \(QA\)).

Līdz ar to \(\triangle QIP=\triangle QBP\) pēc pazīmes \(\ell m \ell\), jo \(\sphericalangle IQP=\sphericalangle BQP=\alpha, PQ\) ir kopīga mala un \(\sphericalangle IPQ=\sphericalangle BPQ=\beta\). Tāpēc \(PI=PB\) kā atbilstošās malas vienādos trijstūros un \(\triangle BPI\) ir vienādsānu trijstūris ar pamatu \(BI\). Tā kā \(PQ\) ir bisektrise, kas vilkta no virsotnes leņķa, tad \(PQ\) ir arī augstums pret \(BI\) un līdz ar to \(PQ \perp BI\).