Kāda ir izteiksmes \(a^{20}+a^{4}+\frac{1}{a^{4}+1}\) mazākā iespējamā vērtība, ja \(a\) ir reāls skaitlis?
Dotās izteiksmes mazākā iespējamā vērtība ir \(1\), to iegūst, ja \(a=0\). Pamatosim, ka mazāku vētību nevar iegūt.
Ekvivalenti pārveidojam doto izteiksmi: \(a^{20}+a^{4}+\frac{1}{a^{4}+1}=a^{20}-1+\left(a^{4}+1\right)+\frac{1}{a^{4}+1}\).
No sakarības starp vidējo aritmētisko un vidējo ģeometrisko izriet, ka
\[\left(a^{4}+1\right)+\frac{1}{a^{4}+1} \geq 2 \cdot \sqrt{\left(a^{4}+1\right) \cdot \frac{1}{a^{4}+1}}=2\]
Tā kā \(a^{20} \geq 0\), tad iegūstam \(a^{20}+a^{4}+\frac{1}{a^{4}+1} \geq 0-1+2=1\). Tātad dotās izteiksmes vērtība ir vismaz \(1\).