Sākums

LV.VOL.2015.9.2   lv

Pierādīt, ka, izmantojot
(A) visas septiņas dotās figūras (skat 1.att.), katru tieši vienu reizi, nav iespējams salikt taisnstūri;
(B) sešas no dotajām figūrām, katru tieši vienu reizi, var salikt taisnstūri.

Visas figūras sastāv no vienādiem kvadrātiem. Figūras drīkst pagriezt, bet nedrīkst apmest otrādi. Taisnstūrī nedrīkst būt caurumi, un figūras nedrīkst pārklāties.

Hide solution

Atrisinājums

(A) Visas septiņas dotās figūras kopā satur \(28\) rūtiņas, tātad taisnstūra laukumam arī jābūt \(28\) rūtiņām. Vienīgie iespējamie taisnstūra izmēri ir \(1 \times 28\) (neder), \(2 \times 14,\ 4 \times 7\). Izkrāsojot taisnstūrus kā šaha galdiņu, katrā no tiem melno un balto rūtiņu skaits ir vienāds. Ja visas dotās figūras izkrāsotu kā šaha galdiņu, tad tās visas, izņemot trešo, saturēu tieši divas katras krāsas rūtiņas. Trešā figūra saturētu trīs vienas krāsas un vienu otras krāsas rūtiņu (skat. A1.att.). Tātad, saskaitot balto un melno rūtiņu skaitu pa visām septiņām figūrām, iegūtu, ka vienas krāsas rūtiņu ir par divām vairāk nekā otras krāsas rūtiņu. Līdz ar to, izmantojot visas septiņas dotās figūras, taisnstūri izveidot nav iespējams.

(B) Ja neizmanto trešo figūru, tad taisnstūri ir iespējams izveidot (skat., piemēram, A2.att.).