Atrisinājums

Ievērojam, ka \(n^{4}-m^{4}=(n-m)(n+m)\left(n^{2}+m^{2}\right)\). Tā kā \(n\) un \(m\) ir naturāli skaitļi, tad \(\frac{2015}{(n-m)(n+m)\left(n^{2}+m^{2}\right)}\) var būt naturāls skaitlis tikai tad, ja \(n>m \geq 1\). Līdz ar to \(1 \leq n-m < n+m < n^{2}+m^{2}\). Tas nozīmē, ka \(n-m,\ n+m\) un \(n^{2}+m^{2}\) ir trīs dažādi skaitļa \(2015\) dalītāji. Sadalām skaitli \(2015\) pirmreizinātājos: \(2015=5 \cdot 13 \cdot 31\). Uzrakstām augošā secībā visus skaitļa \(2015\) dalītājus: \(1,\ 5,\ 13,\ 31,\ 65,\ 155,\ 403,\ 2015\).

Novērtējam saucēja izteiksmi:

\[n^{4}-m^{4} \geq n^{4}-(n-1)^{4}=4n^{3}-6n^{2}+4n-1=4n(n-1)^{2}+2n^{2}-1>4(n-1)^{3}-1\]

Tā kā \(n^{4}-m^{4} \leq 2015\), tad arī \(4(n-1)^{3}-1<2015\). No kurienes iegūstam, ka \((n-1)^{3}<504<512=8^{3}\), tātad \(n-1<8\) jeb \(n<9\). Līdz ar to esam ieguvuši, ka lielākā iespējamā \(n\) vērtība ir \(8\) un \(n+m \leq 8+7=15\). Apskatām visus iespējamos gadījumus. | \(n-m\) | \(n+m\) | \(n\) | \(m\) | \(n^{2}+m^{2}\) | | | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :--- | | \(1\) | \(5\) | \(\mathbf{3}\) | \(\mathbf{2}\) | \(13\) | Der, jo \(2015\): \((1 \cdot 5 \cdot 13)=31\). | | \(1\) | \(13\) | \(7\) | \(6\) | \(85\) | Neder, jo nav \(2015\) dalītājs. | | \(5\) | \(13\) | \(9\) | \(4\) | \(97\) | Neder, jo nav \(2015\) dalītājs. | Tātad vienīgās iespējamās vērtības ir \(n=3\) un \(m=2\). *Piezīme.* Var iegūt arī vājāku summas \(n+m\) novērtējumu. Ievērojam: ja \(n^{2}+m^{2}=2015\), tad \(n-m=n+m=1\), kas nav dažādi skaitļi. Tātad \(n^{2}+m^{2} \leq 403<441=21^{2}\). Līdz ar to ne \(n\), ne \(m\) nevar pārsniegt \(21\), tātad \(n+m \leq 42\). Šajā gadījumā papildus jāpārbauda vēl arī tās vērtības, kurām \(n+m=31\).