Atrisinājums

Ievērojam, ka \(2015=5 \cdot 13 \cdot 31\). Tā kā visi pirmreizinātāji ir dažādi, nepieciešams pierādīt, ka dotā izteiksme vienlaikus dalās gan ar \(5\), gan ar \(13\), gan \(31\).

Apskatām dotās izteiksmes dalāmību ar katru pirmreizinātāju:

• \(2269^{n}+2151^{n}+1389^{n}-1779^{n} \equiv 4^{n}+1^{n}+4^{n}-4^{n} \equiv 4^{n}+1^{n} \equiv(-1)^{2k+1}+1 \equiv-1+1 \equiv 0(\bmod 5);\)
• \(2269^{n}+2151^{n}+1389^{n}-1779^{n} \equiv 7^{n}+6^{n}+11^{n}-11^{n} \equiv 7^{n}+6^{n} \equiv(-6)^{2k+1}+6^{2 k+1} \equiv 0(\bmod 13);\)
• \(2269^{n}+2151^{n}+1389^{n}-1779^{n} \equiv 6^{n}+12^{n}+25^{n}-12^{n} \equiv 6^{n}+25^{n} \equiv 6^{2k+1}+(-6)^{2 k+1} \equiv 0(\bmod 31)\)

Līdz ar to esam pierādījuši, ka dotā izteiksme vienlaikus dalās ar \(5,\ 13\) un \(31\), tātad tā dalās ar \(2015\).