Pierādīt, ka regulāram četrpadsmitstūrim \(A_{1}A_{2} \ldots A_{14}\) ir spēkā sakarība \(A_{1}A_{2}+A_{1}A_{6}=A_{1}A_{4}+R\), kur \(R\) ir tam apvilktās riņķa līnijas rādiuss!
Regulāram četrpadsmitstūrim \(A_{1}A_{2} \ldots A_{14}\) apvilktās riņķa līnijas centru apzīmēsim ar \(O\) (skat. A13.att.). Regulāra četrpadsmitstūra visas malas savelk vienāda lieluma lokus. Diagonāles \(A_{1}A_{2},\ A_{3}A_{14},\ A_{4}A_{13}\) un \(A_{5}A_{12}\) ir savā starpā paralēlas, jo starp paralēlām hordām ir vienādi loki. Līdzīgi paralēlas ir arī diagonāles \(A_{2}A_{3},\ A_{1}A_{4},\ A_{5}A_{14}\) un \(A_{6}A_{13}\), pie kam \(A_{3}A_{14}=A_{1}A_{4}\) un \(A_{4}A_{13}=A_{5}A_{14}\), jo vienādus lokus savelk vienādas hordas.
Nogriežņi \(A_{5}A_{12}\) un \(A_{6}A_{13}\) ir diametri. Nogriežņu \(A_{1}A_{4}\) un \(A_{5}A_{14}\) krustpunktu apzīmēsim ar \(Y\). Četrstūris \(XA_{4}YA_{14}\) ir paralelograms, jo tā pretējās malas ir pa pāriem paralēlas. Tātad \(A_{1}A_{2}=XA_{3}\) un \(XA_{14}=A_{3}A_{14}-A_{1}A_{2}=A_{1}A_{4}-A_{1}A_{2}\).
Nogriežņu \(A_{4}A_{13}\) un \(A_{3}A_{14}\) krustpunktu apzīmēsim ar \(X\). Četrstūris \(A_{1}A_{2}A_{3}X\) ir paralelograms, jo tā pretējās malas ir pa pāriem paralēlas. Tātad \(A_{4}Y=A_{14}X\) un \(YA_{13}=A_{4}A_{13}-XA_{14}=A_{1}A_{6}-A_{1}A_{4}+A_{1}A_{2}\).
Četrstūris \(A_{13}YA_{5}O\) arī ir paralelograms un \(OA_{5}=YA_{13}=R\). Tātad \(A_{1}A_{6}-A_{1}A_{4}+A_{1}A_{2}=R\) jeb \(A_{1}A_{2}+A_{1}A_{6}=A_{1}A_{4}+R\), kas arī bija jāpierāda.