Atrisinājums

Regulāram desmitstūrim \(A_{1}A_{2} \ldots A_{10}\) apvilktās riņķa līijas centru apzīmēsim ar \(O\) (skat. A6.att.). Regulāra desmitstūra visas malas savelk vienāda lieluma lokus. Diagonāles \(A_{1}A_{2}\), \(A_{3}A_{10}\) un \(A_{4}A_{9}\) ir savā starpā paralēlas, jo starp paralēlām hordām ir vienādi loki. Līdzīgi paralēlas ir arī diagonāles \(A_{2}A_{3},\ A_{1}A_{4}\) un \(A_{5}A_{10}\), pie kam \(A_{3}A_{10}=A_{1}A_{4}\), jo vienādus lokus savelk vienādas hordas.

Nogriežņi \(A_{4}A_{9}\) un \(A_{5}A_{10}\) ir diametri. Nogriežņu \(A_{1}A_{4}\) un \(A_{3}A_{10}\) krustpunktu apzīmējam ar \(X\). Četrstūri \(A_{1}A_{2}A_{3}X\) un \(A_{10}XA_{4}O\) ir paralelogrami, jo to pretējās malas ir pa pāriem paralēlas. Tātad \(A_{1}A_{2}=XA_{3}\) un \(OA_{4}=XA_{10}=R\). Tātad \(A_{1}A_{2}+OA_{4}=A_{3}A_{10}\) jeb \(A_{1}A_{2}+R=A_{1}A_{4}\), kas arī bija jāpierāda.