Kvadrātvienādojuma
\[(1+\sqrt{5}) x^{2}-\sqrt[4]{\frac{7}{3+\sqrt{5}}} \cdot(1+\sqrt{5})^{2} x+\sqrt[4]{\frac{7}{3+\sqrt{5}}}=0\]
saknes ir skaitļi \(a\) un \(b\). Pierādīt, ka izteiksmes \(a^{4}b+ab^{4}+3a^{3}b^{2}+3a^{2}b^{3}\) vērtība ir vesels skaitlis!No Vjeta teorēmas izriet, ka
\[\left\{\begin{array}{l} a+b=\sqrt[4]{\frac{7}{3+\sqrt{5}}} \cdot(1+\sqrt{5}) \\ ab=\sqrt[4]{\frac{7}{3+\sqrt{5}}} \cdot \frac{1}{1+\sqrt{5}} \end{array}\right.\]
Pārveidojam doto izteiksmi: \(a^{4}b+ab^{4}+3a^{3}b^{2}+3a^{2}b^{3}=ab\left(a^{3}+b^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}\right)=ab(a+b)^{3}=\) \(=\sqrt[4]{\frac{7}{3+\sqrt{5}}} \cdot \frac{1}{1+\sqrt{5}} \cdot \sqrt[4]{\left(\frac{7}{3+\sqrt{5}}\right)^{3}} \cdot(1+\sqrt{5})^{3}=\frac{7}{3+\sqrt{5}} \cdot(1+\sqrt{5})^{2}=\) \(=\frac{7 \cdot(1+2 \sqrt{5}+5)}{3+\sqrt{5}}=\frac{7 \cdot 2 \cdot(3+\sqrt{5})}{3+\sqrt{5}}=14\). Tā kā skaitlis \(14\) ir vesels skaitlis, tad prasītais ir pierādīts.