Atrast vienādojuma \(\left(x^{2}+5x-7\right)^{2}-2\left(x^{2}+5x-6\right)-4=0\) sakņu kubu summu.
Apzīmējam \(p=x^{2}+5x-8\).
Ievietojot dotajā vienādojumā, iegūstam \((p+1)^{2}-2(p+2)-4=0\) jeb \(p^{2}=7\) un \(p= \pm \sqrt{7}\). Esam ieguvuši, ka šo vienādojumu var sadalīt reizinātājos \((p-\sqrt{7})(p+\sqrt{7})=0\). Tas nozīmē, ka sākotnējā vienādojuma saknes sakrīt ar vienādojumu \(x^{2}+5x-(8+\sqrt{7})=0\) un \(x^{2}+5x-(8-\sqrt{7})=0\) saknēm (šo vienādojumu diskriminanti ir attiecīgi \(D_{v1}=57+4 \sqrt{7}>0\) un \(D_{v2}=57-4 \sqrt{7}>0\), tāpēc katram no tiem ir divas saknes). Apzīmēsim šīs saknes pa pāriem ar \(x_{1}, x_{2}\) un \(x_{3}, x_{4}\). Pēc Vjeta teorēmas iegūstam sakarības:
\[x_{1}+x_{2}=x_{3}+x_{4}=-5\]
\[\begin{aligned} & x_{1}x_{2}=-(8+\sqrt{7}) \\ & x_{3}x_{4}=-(8-\sqrt{7}) \end{aligned}\]
Ievērojam, ka \(a^{3}+b^{3}=(a+b)\left(a^{2}-ab+b^{2}\right)=(a+b)\left((a+b)^{2}-3ab\right)\). Tāpēc \(x_{1}^{3}+x_{2}^{3}+x_{3}^{3}+x_{4}^{3}=-5 \cdot(25+3(8+\sqrt{7}))-5 \cdot(25+3(8-\sqrt{7}))=-490\).