Atrisinājums

Pierādīsim, ka šādu naturālu skaitļu \(n\) nav.

Apzīmējam apskatāmo dalītāju kvadrātu summu ar \(S(n)\). Ievērosim, ka

\[S(n)<\left(\frac{n}{2}\right)^{2}+\left(\frac{n}{3}\right)^{2}+\left(\frac{n}{4}\right)^{2}+\ldots+\left(\frac{n}{n-1}\right)^{2}+\left(\frac{n}{n}\right)^{2}=\frac{n^{2}}{4}+\frac{n^{2}}{9}+\frac{n^{2}}{16}+\ldots+\frac{n^{2}}{(n-1)^{2}}+\frac{n^{2}}{n^{2}}\]

Pamatosim, ka

\[\frac{n^{2}}{4}+\frac{n^{2}}{9}+\frac{n^{2}}{16}+\ldots+\frac{n^{2}}{(n-1)^{2}}+\frac{n^{2}}{n^{2}}+\frac{n^{2}}{(n+1)^{2}}+\frac{n^{2}}{(n+2)^{2}}+\ldots < n^{2}\]

jeb, dalot ar \(n^{2}\), iegūstam

\[\begin{equation*} \frac{1}{4}+\frac{1}{9}+\frac{1}{16}+\ldots+\frac{1}{(n-1)^{2}}+\frac{1}{n^{2}}+\ldots<1 \tag{*} \end{equation*}\]

Ja naturāls skaitlis \(k\) atrodas starp divnieka pakāpēm, t. i., \(2^{a} \leq k \leq 2^{a+1}\), kur \(a\) - naturāls skaitlis, tad \(\frac{1}{k} \geq \frac{1}{2^{a}}\) un \(\frac{1}{k^{2}} \geq \frac{1}{2^{2a}}\). Nevienādības \(\left({ }^{*}\right)\) katru kreisās puses saskaitāmo \(\frac{1}{k^{2}}\) aizstāsim ar \(\frac{1}{2^{2a}}\), ja \(2^{a} \leq k \leq 2^{a+1}\), tā tikai palielinot summas vērtību:

\[\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+\frac{1}{16}+\frac{1}{25}+\frac{1}{36}+\frac{1}{49}+\frac{1}{64}+\ldots<\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{16}+\frac{1}{16}+\frac{1}{16}+\frac{1}{16}+\frac{1}{64}+\ldots\]

Ievērosim, ka ir tieši \(2^{a}\) tādi naturāli skaitļi, kas apmierina nevienādības \(2^{a} \leq k \leq 2^{a+1}\). Tātad iegūtajā summā būs tieši \(2^{a}\) saskaitāmie ar saucēju \(2^{2a}\). Līdz ar to iegūtā summa ir

\[\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{16}+\frac{1}{16}+\frac{1}{16}+\frac{1}{16}+\frac{1}{64}+\ldots=\frac{2}{2^{2}}+\frac{4}{4^{4}}+\frac{8}{8^{2}}+\ldots=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\ldots=\frac{\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{2}}=1\]

Tika izmantota bezgalīgi dilstošas ģeometriskās progresijas (ar kvocientu \(0,5\) un pirmo locekli \(0,5\)) visu locekļu summas formula. Esam pamatojuši, ka

\[\frac{S(n)}{n^{2}}<\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+\frac{1}{16}+\frac{1}{25}+\ldots+\frac{1}{n^{2}}+\ldots<1\]

Tātad \(S(n) < n^{2}\), līdz ar to nevienam \(n\) nav iespējama vienādība \(S(n)=n^{2}\). *Piezīme.* Ir spēkā sakarība \(\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+\frac{1}{16}+\frac{1}{25}+\frac{1}{36}+\frac{1}{49}+\ldots=\frac{\pi^{2}}{6}-1 \approx 0,63 \ldots\).