Atrisinājums

Pagarinām \(OA\) tā, ka \(AF\) ir diametrs un novelkam nogriezni \(EF\) (skat. A6.zīm.). Tad trijstūris \(AEF\) ir taisnleņķa, jo \(\sphericalangle AEF\) balstās uz diametru \(AF\).

\(\triangle AEF \sim \triangle ADE\) (pēc pazīmes " \(\ell \ell\) "), jo \(\sphericalangle AEF=\sphericalangle ADE=90^{\circ}\) un \(\sphericalangle EAD\) ir kopīgs. Apzīmējam \(\sphericalangle AFE=\sphericalangle AED=\alpha\) (kā atbilstošie leņķi līdzīgos trijstūros). Tad \(\sphericalangle EOD=2 \sphericalangle AFE=2 \alpha\) kā centra leņķis, kas balstās uz to pašu loku kā \(\sphericalangle AFE\).

Pieņemsim, ka \(OA=OB=OE=2x\). Tad \(OC=x\) un no Pitagora teorēmas trijstūrī \(AOC\) seko, ka \(AC=\sqrt{OC^{2}+AO^{2}}=\sqrt{x^{2}+(2x)^{2}}=x \sqrt{5}\). Izmantojot bisektrises īpašību (bisektrise \(CD\) trijstūrī \(AOC\)), iegūstam

\[\frac{OD}{DA}=\frac{OC}{AC} \Rightarrow \frac{OD}{AO-OD}=\frac{1}{\sqrt{5}} \Rightarrow OD \sqrt{5}=2x-OD \Rightarrow OD=\frac{2x}{1+\sqrt{5}}\]

No trijstūra \(ODE\) iegūstam, ka \(\cos 2 \alpha=\frac{OD}{OE}=\frac{2x}{(1+\sqrt{5}) \cdot 2x}=\frac{1}{1+\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}-1}{4}\). Izmantojot trigonometrisko formulu \(\cos 2 \beta=\cos ^{2} \beta-\sin ^{2} \beta=2 \cos ^{2} \beta-1\), iegūstam - \(\cos ^{2} \alpha=\frac{1+\cos 2 \alpha}{2}=\frac{1+\frac{\sqrt{5}-1}{4}}{2}=\frac{3+\sqrt{5}}{8}\). - Tā kā \(\alpha\) ir šaurs trijstūra leņkis, tad

\[\cos \alpha=\sqrt{\frac{3+\sqrt{5}}{8}}=\sqrt{\frac{6+2 \sqrt{5}}{16}}=\sqrt{\frac{(\sqrt{5})^{2}+2 \sqrt{5}+1}{16}}=\sqrt{\frac{(\sqrt{5}+1)^{2}}{16}}=\frac{\sqrt{5}+1}{4}\]

- \(\cos 4 \alpha=2 \cos ^{2} 2 \alpha-1=2 \cdot\left(\frac{\sqrt{5}-1}{4}\right)^{2}-1=\frac{4-2 \sqrt{5}}{8}-1=\frac{-4-2 \sqrt{5}}{8}=-\frac{1+\sqrt{5}}{4}\). Esam ieguvuši, ka \(\cos 4 \alpha=-\cos \alpha\) jeb, izmantojot redukcijas formulas, \(\cos 4 \alpha=\cos (\pi-\alpha)\). Ievērojot, ka \(\alpha\) ir šaurs trijstūra leņķis, iegūstam \(4 \alpha=\pi-\alpha \Rightarrow 5 \alpha=\pi \Rightarrow \alpha=\frac{\pi}{5}\) jeb \(\alpha=\frac{180^{\circ}}{5}=36^{\circ}\)