Naturālus skaitļus \(a,\ b\) un c saista sakarība \(c^{2}=a^{2}+b^{2}\). Pierādīt, ka katru no skaitļiem \(c^{2}+ab\) un \(c^{2}-ab\) var izteikt kā divu naturālu skaitļu kvadrātu summu.
Aplūkojam skaitļus \(x=\frac{a+b+c}{2},\ y=\frac{a+b-c}{2},\ p=\frac{c+a-b}{2}\) un \(q=\frac{c-a+b}{2}\).
No sakarības \(c^{2}=a^{2}+b^{2}\) viegli ievērot: ja kāds no skaitļiem \(a,\ b,\ c\) ir nepāra skaitlis, tad no atlikušajiem viens ir nepāra, bet otrs - pāra. Tātad vai nu visi skaitļi \(a,\ b,\ c\) ir pāra, vai starp tiem ir tieši divi nepāra skaitļi. Tas nozīmē, ka visi skaitļi \(x,\ y,\ p,\ q\) ir veseli skaitļi.
Skaitļi \(a,\ b,\ c\) ir Pitagora trijstūra malas, tāpēc no trijstūra nevienādībām \(a+b>c,\ a+c>b\), \(b+c>a\) seko, ka visi skaitļi \(x,\ y,\ p,\ q\) ir lielāki nekā nulle - tātad naturāli skaitļi.
Atliek ievērot, ka
\(x^{2}+y^{2}=\frac{(a+b)^{2}+2(a+b)c+c^{2}}{4}+\frac{(a+b)^{2}-2(a+b)c+c^{2}}{4}=\frac{(a+b)^{2}+c^{2}}{2}=\)
\(=\frac{a^{2}+2ab+b^{2}+c^{2}}{2}=\frac{2c^{2}+2ab}{2}=c^{2}+ab\)
\(p^{2}+q^{2}=\frac{c^{2}+2c(a-b)+(a-b)^{2}}{4}+\frac{c^{2}-2c(a-b)+(a-b)^{2}}{4}=\frac{c^{2}+(a-b)^{2}}{2}=\)
\(=\frac{c^{2}+a^{2}-2ab+b^{2}}{2}=\frac{2c^{2}-2ab}{2}=c^{2}-ab\)