Gatavojoties vēlēšanām politiskās partijas saviem vēlētājiem kopumā ir devušas \(s\) (naturāls skaitlis) dažādus solījumus. Zināms, ka jebkurām divām partijām var atrast vismaz vienu solījumu, ko devušas abas partijas. Tajā pat laikā nav iespējams atrast divas partijas, kuru dotie solījumi sakristu pilnībā - ir iespējams atrast vismaz vienu solījumu, ko viena partija ir devusi, bet otra - nē. Kāds ir lielākais iespējamais partiju skaits, kas gatavojas vēlēšanām?
Lielākais iespējamais dažādo solījumu komplektu skaits ir \(\underbrace{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot 2}_{\mathrm{s}}=2^{s}\) (kopas, kuras apjoms ir \(s\), visu apakškopu skaits).
Zināms, ka katrai kopas \(A\) apakškopai \(B\) eksistē tās papildinājums \(C\) līdz kopai \(A\), un kopu \(B\) un \(C\) šķēlums ir tukša kopa, t. i., kopām \(B\) un \(C\) nav kopīgu elementu. Šādus divus solījumu komplektus (apakškopu un tās papildinājumu) nevar piekārtot partijām, jo neizpildās uzdevuma nosacījums, ka jebkurām divām partijām var atrast vismaz vienu solījumu, ko devušas abas partijas. Līdz ar to no katra šādu solījumu komplektu pāra partijām var piekārtot ne vairāk kā vienu solījumu komplektu. Tātad iespējamais partiju skaits ir vismaz divas reizes mazāks nekā visu kopas apakškopu skaits, t. i., \(2^{s}:2=2^{s-1}\).
Parādīsim, ka šāds partiju skaits ir iespējams.
Pieņemsim, ka eksistē viens solījums, kas kopīgs visām partijām. Tad no atlikušajiem \(s-1\) solījumiem var izveidot \(2^{s-1}\) dažādus solījumu komplektus (kopas, kuras apjoms ir \(s-1\) dažādo apakškopu skaits). Līdz ar to esam izveidojuši \(2^{s-1}\) atšķirīgus solījumu komplektus, kas apmierina uzdevuma nosacījumus.
Tātad lielākais iespējamais partiju skaits ir \(2^{s-1}\).