Divas komandas savā starpā izspēlējušas vairākas (vairāk nekā vienu) spēles. Par zaudējumu komanda saņem \(n\) punktus (\(n\)- naturāls skaitlis), bet par uzvaru \(n+3\) punktus. Neizšķirtu rezultātu nav. Pēc spēļu beigām izrādījās, ka vienai komandai ir par vienu uzvaru vairāk nekā otrai. Zināms, ka viena no komandām kopsummā ieguva \(92\) punktus. Cik punktus ieguva otra komanda?
Ja pieņemam, ka komanda-zaudētāja izcīnījusi \(a\) uzvaras, tad komanda-uzvarētāja izcīnījusi \(a+1\) uzvaru. Kopējais punktu skaits komandai-zaudētājai ir \(a(n+3)+(a+1)n=2an+3a+n\), bet komandai-uzvarētājai \((a+1)(n+3)+an=2an+3a+n+3\).
Pierādīsim, ka komanda-uzvarētāja nevarēja izcīnīt \(92\) punktus. Ja tā tomēr būtu bijis, tad \(2an+3a+n+3=92\) jeb eksistē tāds naturāls skaitlis \(a\), ka \(n=\frac{89-3a}{2a+1}\) ir naturāls skaitlis. Tā kā \(n \geq 1\), tad pieļaujamās \(a\) vērības ir \(1 \leq a \leq 17\). Aplūkosim skaitītāja un saucēja vērtību katrai no šīm vērtībām:
| \(a\) | \(89-3a\) | \(2a+1\) |
|---|---|---|
| \(1\) | \(86\) | \(3\) |
| \(2\) | \(83\) | \(5\) |
| \(3\) | \(80\) | \(7\) |
| \(4\) | \(77\) | \(9\) |
| \(5\) | \(74\) | \(11\) |
| \(6\) | \(71\) | \(13\) |
| \(7\) | \(68\) | \(15\) |
| \(8\) | \(65\) | \(17\) |
| \(9\) | \(62\) | \(19\) |
| \(10\) | \(59\) | \(21\) |
| \(11\) | \(56\) | \(23\) |
| \(12\) | \(53\) | \(25\) |
| \(13\) | \(50\) | \(27\) |
| \(14\) | \(47\) | \(29\) |
| \(15\) | \(44\) | \(31\) |
| \(16\) | \(41\) | \(33\) |
| \(17\) | \(38\) | \(35\) |
Kā redzams, nevienai no pieļaujamajām \(a\) vērtībām daļas vērtība nav naturāls skaitlis. Tātad komanda-uzvarētāja nevar būt ieguvusi \(92\) punktus.
Pārbaudīsim, vai komanda-zaudētāja varēja iegūt \(92\) punktus. Tad \(2an+3a+n=92\) un \(n=\frac{92-3a}{2a+1}\). Ja \(a=5\), tad \(n=7\), vai, ja \(a=8\), tad \(n=4\), tātad, komanda-zaudētāja varēja iegūt \(92\) punktus.
Tā kā komanda-uzvarētāja ieguva par \(3\) punktiem vairāk nekā komandu-zaudētāja, tad otra komanda (uzvarētāja) ieguva \(95\) punktus.