Uz tāfeles uzrakstīta burtu virkne, kas satur tikai burtus \(a\), \(b\) un \(c\). Ar šo virkni atļauts veikt šādus gājienus:
Vai, atkārtojot vairākus šādus gājienus, iespējams iegūt virkni \(aba\), ja sākotnēji ir uzrakstīta virkne (A) \(abba\); (B) \(aabbcabaab\)?
(A) Atbilde: nevar.
Aizstājam burtu \(a\) ar ciparu \(1\), burtu \(b\)- ar ciparu \(2\), burtu \(c\)- ar ciparu \(3\). Tātad sākotnēji uz tāfeles uzrakstītā virkne atbilst skaitlim \(1221\) un jāiegūst skaitli \(121\). Ievērosim, ka atļautās darbības atbilst šādām darbībām ar skaitļiem:
a. uz tāfeles uzrakstītajā skaitlī var patvaļīgi mainīt ciparu kārtību; b. ja skaitļa pēdējie divi cipari ir \(12\), tad tos var nodzēst; c. ciparus \(21\) var aizstāt ar \(112233\); d. ciparus \(223\) var aizstāt ar \(1\); e. drīkst izsvītrot trīs vienādus pēc kārtas uzrakstītus ciparus.
Ievērosim, ka uz tāfeles uzrakstītā skaitļa ciparu summa, veicot šos gājienus,
a. nemainās; b. samazinās par \(3\); c. palielinās par \(9\); d. samazinās par \(6\); e. samazinās par \(3\) (ja nodzēsti trīs vieninieki), \(6\) (ja nodzēsti trīs divnieki) vai \(9\) (ja nodzēsti trīs trijnieki).
Sākotnēji uz tāfeles uzrakstīts skaitlis \(1221\), kurš dalās ar \(3\) un kura ciparu summa dalās ar \(3\). Veicot aprakstītos gājienus, iegūtā skaitļa ciparu summa vienmēr dalīsies ar trīs, kas nozīmē, ka gājienu rezultātā var iegūt tikai skaitļus, kuri dalās ar \(3\). Taču skaitlis \(121\) nedalās ar \(3\), tātad ar aprakstītajiem gājieniem to nevar iegūt no skaitļa \(1221\). Tātad arī virkni \(aba\) nevar iegūt no virknes \(abba\) ar aprakstīto gājienu palīdzību.
(B) Atbilde: var, piemēram, \(aabbcabaab \rightarrow aaaaabbbbc \rightarrow aabbbbc \rightarrow aabba \rightarrow abaab \rightarrow aba\).