Atrisinājums

(A) Atbilde: jā, noteikti. Tā kā abiem kvadrātiem ir centrs sakrīt, tiem abiem ir kopīgs tajos ievilktais riņķis, kura rādiusa garums ir \(20~ \mathrm{cm}\) (skat. 9.zīm.). Riņķa laukums ir \(400 \pi \mathrm{cm}^{2} > 400 \cdot 3,14 \mathrm{~cm}^{2}==1256 \mathrm{~cm}^{2} > 1250 \mathrm{~cm}^{2}\).

(B) Atbilde: jā, noteikti. Ja kvadrāti nesakrīt, tad ārpus kopīgās daļas veidojas astoņi vienādi taisnleņķa trijstūri \(AJS, JFK, BKL, LMG, CMN, PHN, DPR\) un \(ERS\). Kvadrātu kopīgā daļa būs mazākā iespējamā, ja šo trijstūru laukums būs lielākais iespējamais. Apzīmējot \(AJ=JF=x\) un \(FK=KB=y\), iegūstam, ka

\[\begin{aligned} & AB=40=x+y+\sqrt{x^{2}+y^{2}} \Rightarrow 40-(x+y)=\sqrt{x^{2}+y^{2}} \Rightarrow \\ & 1600-80(x+y)+x^{2}+2xy+y^{2}=x^{2}+y^{2} \Rightarrow y=40 \cdot \frac{20-x}{40-x} \end{aligned}\]

Tātad, nepieciešams atrast tādu \(x\) vērtību, lai \(xy=40x \cdot \frac{20-x}{40-x}\) vērtība būtu maksimāla. Ne \(x\), ne \(y\) vērtība nevar pārsniegt pusi no kvadrāta malas garuma, t.i., \(20~\mathrm{cm}\) . \(40x \frac{20-x}{40-x}=40\left(x+20+\frac{800}{x-40}\right)=40\left(60+x-40+\frac{800}{x-40}\right)=2400+40\left(x-40+\frac{800}{x-40}\right)\). Apzīmējot \(x-40=-p(p > 0)\), no sakarībām starp aritmētisko un ģeometrisko vidējo iegūst \((-p)+\frac{a}{(-p)} \geq \sqrt{(-p) \frac{a}{(-p)}}=\sqrt{a}\). Izmantojot šo sakarību, iegūstam, ka maksimālā \(xy\) vērtība ir tad, ja \(40-x=\sqrt{800}\) jeb \(x=40-20 \sqrt{2}\). Tātad mazākais iespējamais kvadrātu kopīgās daļas laukums ir \(1600-2xy=1600-2(2400-80 \cdot 20 \sqrt{2})=3200 \sqrt{2}-3200=3200(\sqrt{2}-1) > 3200 \cdot(1,41-1)=\) \(=3200 \cdot 0,41=1312 > 1300\left(\mathrm{~cm}^{2}\right)\).