Dots vienādsānu trijstūris \(ABC\), kuram \(AB=AC\) un \(\sphericalangle BAC=100^{\circ}\). Leņķa \(ABC\) bisektrise krusto malu \(AC\) punktā \(D\). Pierādīt, ka \(AD+BD=BC\).
Tā kā \(ABC\) ir vienādsānu trijstūris, tad \(\sphericalangle ACB=\sphericalangle ABC=40^{\circ}\) (skat. 8.zīm.). Tā kā \(BD\) ir bisektrise, tad \(\sphericalangle ABD=20^{\circ}\) un \(\sphericalangle ADB=60^{\circ}\).
Atliksim punktu \(F\), kas simetrisks punktam \(A\) pret taisni \(BD\). Tad trijstūri \(ABD\) un \(FBD\) ir vienādi (simetriski pret taisni \(BD\) ), tāpēc to atbilstošie elementi ir vienādi:
\(AD=DF, \sphericalangle BDA=\sphericalangle BDF=60^{\circ}\),
\(\sphericalangle BAD=\sphericalangle BFD=100^{\circ}\).
\(\sphericalangle FDC=180^{\circ}-\sphericalangle ADB-\sphericalangle BDF=60^{\circ}\) un \(\sphericalangle DFC=180^{\circ}-\sphericalangle BFD=80^{\circ}\).
Konstruēsim trijstūrim \(DFC\) simetrisku trijstūri \(DEC\) pret taisni \(DC\). Šo trijstūri atbilstošie elementi ir vienādi: \(\sphericalangle CDE=\sphericalangle CDF=60^{\circ}, \sphericalangle DEC=\sphericalangle DFC=80^{\circ}, \sphericalangle ECD=\sphericalangle FCD=40^{\circ}\), \(DE=DF\). Tā kā \(\sphericalangle BDE=\sphericalangle BDF+\sphericalangle FDC+\sphericalangle CDE=180^{\circ}\), tad punkti \(B, D\) un \(E\) atrodas uz vienas taisnes. Tā kā \(\sphericalangle BEC=\sphericalangle BCE=80^{\circ}\), tad trijstūris \(BEC\) ir vienādsānu un \(BE=BC\). Bet \(BC=BE=BD+DE=BD+DF=BD+AD\), k.b.j.