Atrisinājums

Atradīsim \(AE\) un \(BC\) krustpunktu \(D\) un pieņemsim, ka \(\sphericalangle ADB=\alpha \leq 90^{\circ}\).

Novilksim perpendikulus \(BF\) un \(CG\) pret \(AD\) (skat. 1.zīm.).

Pielietojot Pitagora teorēmu taisnleņķa trijstūros \(ABF,\ BEF,\ ACG\) un \(ECG\), iegūstam:

\[\begin{align*} & AB^{2}-BE^{2}=\left(AF^{2}+BF^{2}\right)-\left(BF^{2}+EF^{2}\right)=AF^{2}-EF^{2}= \\ & =(AF-EF)(AF+EF)=AE(AF+EF) \\ & AC^{2}-EC^{2}=\left(AG^{2}+CG^{2}\right)-\left(EG^{2}+CG^{2}\right)=AG^{2}-EG^{2}= \\ & =(AG-EG)(AG+EG)=AE(AG+EG) \end{align*}\]

Pēc dotā \(AB^{2}-BE^{2}=AC^{2}-EC^{2}\) jeb \(AF+EF=AG+EG\). Pieskaitot abām pusēm \(AE\), iegūstam \(AE+AF+EF=AE+AG+EG\) jeb \(2AF=2AG\). Tātad punkti \(F\) un \(G\) sakrīt ar \(AD \perp BC\).