Kvadrātvienādojuma \(x^{2}+p_{1}x+q_{1}=0\) saknes ir \(a\) un \(b\), kvadrātvienādojuma \(x^{2}+p_{2}x+q_{2}=0\) saknes ir \(b\) un \(c\), bet kvadrātvienādojuma \(x^{2}+p_{3}x+q_{3}=0\) saknes ir \(a\) un \(c\). Zināms, ka \(q_{1} \leq q_{2} \leq q_{3} \leq 0\). Kādas ir iespējamās \(q_{2}\) vērtības?
Atbilde: \(q_{2}=0\).
Pēc Vjeta teorēmas \(q_{1}=ab,\ q_{2}=bc,\ q_{3}=ac\). Tātad \(ab \leq bc \leq ac \leq 0\). Ja neviens no skaitļiem \(a,\ b\), \(c\) nav nulle, tad divi no tiem ir vai nu abi pozitīvi, vai abi negatīvi, tāpēc to reizinājums ir lielāks nekā nulle. Tātad vismaz viens no skaitļiem \(a,\ b,\ c\) ir \(0\). Tad \(q_{3}=ac=0\), tātad \(a\) vai \(c\) ir \(0\). Ja \(c=0\), tad \(q_{2}=bc=0\). Ja \(a=0,\ c \neq 0\), tad \(q_{1}=ab=0\) un no nevienādības \(0 \leq q_{2} \leq 0\) seko, ka \(q_{2}=0\).