Atrisinājums

Izvēlēsimies vienu trijstūra malu (piem., \(BC\)) un caur mediānu \(AD,\ BE\) un \(CF\) krustpunktu \(M\) novilksim tai paralēlu taisni, kas malas \(AB\) un \(AC\) krusto attiecīgi punktos \(G\) un \(H\) (skat. 14.zīm.).

Trijstūra \(AGH\) laukums ir \(\frac{4}{9}\) no trijstūra \(ABC\) laukuma (seko no Talesa teorēmas un mediānu īpašības). Tātad četrstūra \(BGHC\) un trijstūra \(AGH\) laukumu attiecība ir \(5:4\). Pierādīsim, ka šī arī ir lielākā iespējamā trijstūra daļu laukumu attiecība. Aplūkosim, kas notiek, ja taisni \(GH\) pagriež ap punktu \(M\), iegūstot taisni \(JK\). Tad \(S_{AJK}=S_{AGH}-S_{KMH}+S_{GMJ}\). Novelkam \(HL \parallel AB(L \in JK). \sphericalangle KHL=\sphericalangle BAC\), tāpēc \(S_{KHL}>0,\ S_{GMJ}=S_{MHL}\) pēc pazīmes (\(\ell m \ell\)): \(GM=MH\) (\(AM\) ir \(\triangle GAH\) mediāna), \(\sphericalangle GMJ=\sphericalangle LMH\) un \(\sphericalangle MGJ=\sphericalangle MHL\). Tātad, neatkarīgi no punkta \(J\) izvēles, \(S_{GMJ}>S_{MKH}\). Aplūkosim četrstūra \(BJKC\) un trijstūra \(AJK\) laukumu attiecību:

\[\frac{S_{BJKC}}{S_{AKK}}=\frac{S_{BGHC}-S_{GMJ}+S_{MKH}}{S_{AGH}+S_{GMJ}-S_{MKH}}<\frac{S_{BGHC}}{S_{AGH}}=\frac{5}{4}.\]

Brīdī, kad \(J\) punkts "sasniegs" \(B\) (vai \(K\) "sasniegs" \(C\)), abu daļu laukumi būs vienādi (mediāna dala trijstūri vienlielās daļās), t.i., šo laukumu attiecība būs \(1\). Analogi pierāda, ka \(S_{BJM} \geq S_{EKM}\), tāpēc \(\frac{S_{BJKC}}{S_{AJK}}=\frac{S_{BEC}+S_{BJM}-S_{EKM}}{S_{ABE}-S_{BJJ}+S_{EKM}} \geq \frac{S_{BEC}}{S_{ABE}}=1\). Tātad \(1 \leq \frac{S_{BJKC}}{S_{AJK}} \leq \frac{5}{4}\).