Atrisinājums

Nezaudējot vispārīgumu, varam pieņemt, ka tabulā pa reizei ierakstīti skaitļi no \(1\) līdz \(9\).

1) Pierādīsim, ka iekrāsoto rūtiņu skaits nepārsniedz \(7\). Nekad nevar būt iekrāsota rūtiņa, kurā ierakstīts \(1\) (jo katrā no virzieniem kādā rūtiņā būs ierakstīts lielāks skaitlis). Ja nav iekrāsota rūtiņa ar \(2\), tad jau divas rūtiņas ir neiekrāsotas un kopējais iekrāsoto rūtiņu skaits nepārsniedz \(7\). Ja rūtiņa ar \(2\) ir iekrāsota, tad tas iespējams tikai tad, ja \(1\) un \(2\) abi atrodas uz "īsās" diagonāles (skat. 5.zīm.).

Aplūkosim tabulas stūra rūtiņas (skat. 6.zīm.). Rūtiņa ar mazāko no šiem četriem skaitļiem nebūs iekrāsota, jo visos virzienos ir kāda rūtiņa, kurā ierakstīts lielāks skaitlis. Tātad vēl vismaz viena rūtiņa ir neiekrāsota un kopējais iekrāsoto rūtiņu skaits nepārsniedz \(7\).

2) pierādīsim, ka iekrāsotas ir vismaz \(5\) rūtiņas.

Aplūkosim četras rūtiņas, kas atrodas tabulas sānu malu vidū (skat. 7.zīm. iekrāsotās rūtiņas). Tās pa pāriem veido četras īsās diagonāles. Tātad vismaz divas no tām ir iekrāsotas. Aplūkosim visus trīs iespējamos variantus:

  a. visas četras vidus rūtiņas ir iekrāsotas (skat. 7.zīm.). Bet tad jābūt
     iekrāsotai vismaz vēl vienai rūtiņai uz garās diagonāles. Līdz ar to 
     kopējais iekrāsoto rūtiņu skaits ir vismaz \(5\).

  b. iekrāsotas trīs vidus rūtiņas (skat. 8.zīm.). Aplūkosim rūtiņas, kas 
     atzīmētas ar " \(x\) ". Katrām divām " \(x\) " rūtiņām ir kopīgs viens 
     rūtiņu virziens (augšējā rinda, abas garās diagonāles). Katrā no šiem 
     virzieniem jābūt kādai iekrāsotai rūtiņai. Ar vienas rūtiņas 
     iekrāsošanu nevar "nosegt" visus trīs virzienus uzreiz. Tātad kopējais
     iekrāsoto rūtiņu skaits ir vismaz \(3+2=5\).

  c. iekrāsotas ir divas vidus rūtiņas (skat. 9.zīm.). Tā kā tās "nosedz" 
     visas četras īsās diagonāles, tad tām jābūt kādas rindas vai kolonnas 
     pretējām rūtiņām. Tā kā vairāk neviena sānu malu vidus rūtiņa nav 
     iekrāsota, tad vidējā kolonnā jābūt iekrāsotai centrālajai rūtiņai 
     (skat. 10.zīm.). Tas nozīmē, ka vēl pa vienai iekrāsotai rūtiņai jābūt
     tabulas augšējā un apakšējā rindā un kopējais iekrāsoto rūtiņu skaits 
     ir vismaz \(5\).

Tātad iekrāsoto rūtiņu skaits ir vismaz \(5\) un ne vairāk par \(7\). 11., 12. un 13.zīm. skat. piemērus katram no gadījumiem.